Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 12 Bài 3: Tích phân sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 12.

Tích phân (Lý thuyết Toán lớp 12) | Cánh diều

Lý thuyết Tích phân

1. Định nghĩa tích phân

Cho f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a; b].

Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x), kí hiệu là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Chú ý:

+ Kí hiệu ${\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$  và đọc là F(x) thế cận từ a đến b.

Vậy $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_a^b=F\left(b\right)-F\left(a\right)$ .

Gọi:$\underset{a}{\overset{b}{\int }}$ là dấu tích phân; a là cận dưới, b là cận trên; f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân và f(x) là hàm số dưới dấu tích phân.

+ Ta quy ước: $\underset{a}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx=0;\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=-\underset{b}{\overset{a}{\int }}f\left(x\right)dx$ .

+ Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào các cận a, b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t, nghĩa là $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(t\right)dt$ .

Ví dụ 1. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{2}{\overset{3}{\int }}2xdx$$={\left.x^2\right|}_2^3$  = 3² – 2² = 5. 

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{e}^{x}dx$$={\left.e^x\right|}_1^2$  = e² – e¹ = e² – e.

2. Tính chất của tích phân

● Tính chất 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

 $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$ (k là hằng số).

Ví dụ 2. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$ . Tính $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}5f\left(x\right)dx=5\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=5\cdot \left(-3\right)=-15$ .

● Tính chất 2: Cho các hàm số y = f(x), y = g(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$;

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx-\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx$.

Ví dụ 3. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(x^2+x-1\right)dx=\underset{0}{\overset{2}{\int }}{x}^{2}dx+\underset{0}{\overset{2}{\int }}xdx-\underset{0}{\overset{2}{\int }}1dx$$={\left.\frac{x^3}{3}\right|}_0^2+{\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^2-{\left.x\right|}_0^2$

                                    $=\left(\frac{8}{3}-0\right)+\left(\frac{4}{2}-0\right)-\left(2-0\right)=\frac{8}{3}$ .

● Tính chất 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử c là số thực tùy ý thuộc đoạn [a; b]. Khi đó, ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{c}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{c}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$.

Ví dụ 4. Tính $\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:$\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|x-1\right|dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left|x-1\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(1-x\right)dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(x-1\right)dx$

 $={\left.\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^1+{\left.\left(\frac{x^2}{2}-x\right)\right|}_1^2$$=\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-0\right]+\left[\left(\frac{4}{2}-2\right)-\left(\frac{1}{2}-1\right)\right]$= 1.

3. Tích phân của một số hàm số sơ cấp

3.1. Tích phân của hàm số lũy thừa

Với α ≠ – 1, ta có: $\underset{a}{\overset{b}{\int }}{x}^{\alpha }dx={\left.\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\right|}_a^b=\frac{b^{\alpha +1}-a^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ .

Ví dụ 5. Tính:

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$ ;

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$ .

Hướng dẫn giải

a) $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}4x^{3}dx$$={\left.x^4\right|}_{-1}^1$ = 1⁴ – (– 1)⁴ = 0.

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{\sqrt{3}}dx$$={\left.\frac{x^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}\right|}_1^2=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1^{\sqrt{3}+1}}{\sqrt{3}+1}=\frac{2^{\sqrt{3}+1}-1}{\sqrt{3}+1}$.

3.2. Tích phân của hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$

Với hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$ liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{x}dx={\left.\ln \left|x\right|\right|}_a^b=\ln \left|b\right|-\ln \left|a\right|$.

Ví dụ 6. Tính $\underset{2}{\overset{e}{\int }}\frac{6}{5x}dx$ .

Hướng dẫn giải

Ta có: $=\frac{6}{5}{\left.\ln \left|x\right|\right|}_2^e=\frac{6}{5}\left(\ln \left|e\right|-\ln \left|2\right|\right)=\frac{6}{5}\left(1-\ln 2\right)$ .

3.3. Tích phân của hàm số lượng giác

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\sin xdx={\left.-\cos x\right|}_a^b=-\cos b-\left(-\cos a\right)=\cos a-\cos b$ .

● $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\cos xdx={\left.\sin x\right|}_a^b=\sin b-\sin a$ .

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\sin }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\sin }^{2}x}dx={\left.-\cot x\right|}_a^b=-\cot b-\left(-\cot a\right)=\cot a-\cot b$.

● Với hàm số f(x) = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}$  liên tục trên đoạn [a; b], ta có:

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{1}{{\cos }^{2}x}dx={\left.\tan x\right|}_a^b=\tan b-\tan a$.

Ví dụ 7. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\cos x-\sin x\right)dx$ ;

b) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{4}{{\sin }^{2}x}-\frac{5}{{\cos }^{2}x}\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

3.4. Tích phân của hàm số mũ

Với a > 0, a ≠ 1, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{a}^{x}dx={\left.\frac{a^x}{\ln a}\right|}_{\alpha }^{\beta }=\frac{a^{\beta }-a^{\alpha }}{\ln a}$ .

Chú ý: Áp dụng công thức trên, ta có: $\underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}{e}^{x}dx={\left.e^x\right|}_{\alpha }^{\beta }=e^{\beta }-e^{\alpha }$ .

Ví dụ 8. Tính:

a) $\underset{2}{\overset{4}{\int }}{5}^{x}dx$ ;

b) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(2\cdot 3^x+e^x\right)dx$ .

Hướng dẫn giải

Bài tập Tích phân

Bài 1. Tích phân $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$ có giá trị bằng:

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\frac{-5}{x^3}dx$$=-5\underset{1}{\overset{2}{\int }}{x}^{-3}dx={\left.-5\cdot \frac{x^{-2}}{-2}\right|}_1^2={\left.\frac{5}{2}\cdot \frac{1}{x^2}\right|}_1^2$$=\frac{5}{2}\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{1^2}\right)=-\frac{15}{8}$ .

Bài 2. Nếu $\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=-3$  và $\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$  thì $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$  bằng:

A. 8.

B. 2.

C. – 8.

D. – 15.

 

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$$=\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\left(-3\right)+5=2$ .

Bài 3. Cho $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$, F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] và F(– 2) = 5. Tính F(2).

Hướng dẫn giải

Vì F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [– 2; 2] nên ta có:

$\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx={\left.F\left(x\right)\right|}_{-2}^2=F\left(2\right)-F\left(-2\right)$.

Mà $\underset{-2}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx=3$ , F(– 2) = 5 nên suy ra F(2) = 3 + 5 = 8.

Bài 4. Tính:

Hướng dẫn giải

Bài 5. Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái ô tô đạp phanh, từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = – 5t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Xe ô tô dừng hẳn khi v(t) = 0, tức là – 5t + 20 = 0 hay t = 4 (giây).

Quãng đường mà ô tô đi được từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn là:

$\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(-5t+20\right)dt={\left.\left(-\frac{5}{2}{t}^2+20t\right)\right|}_0^4=40$(m)

Học tốt Tích phân

Các bài học để học tốt Tích phân Toán lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Bài 3: Tích phân

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 12 Cánh diều hay khác:

• Lý thuyết Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Tổng hợp lý thuyết Toán 12 Chương 4

• Lý thuyết Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Lý thuyết Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Lý thuyết Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---