Giải Toán 12 trang 8 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 8 Tập 2 trong Bài 1: Nguyên hàm Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 8.

Giải Toán 12 trang 8 Tập 2 Cánh diều

Bài 4 trang 8 Toán 12 Tập 2: Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức h'(t) = 1,5t + 5, trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây sau t (năm) (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e Cengage 2014). Biết rằng, cây con khi được trồng cao 12 cm.

a) Viết công thức tính chiều cao của cây sau t năm.

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu centimét?

Lời giải:

a) Công thức chiều cao h(t) của cây sau t năm là một nguyên hàm của hàm số h'(t).

Ta có $\int h^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \left(1,5t+5\right)dt=\int 1,5tdt+\int 5dt=0,75t^2+5t+C$.

Suy ra h(t) = 0,75t² + 5t + C.

Vì cây con khi được trồng cao 12 cm nên h(0) = 12.

Do đó 0,75 ∙ 0² + 5 ∙ 0 + C = 12, suy ra C = 12.

Vậy công thức tính chiều cao của cây sau t năm là h(t) = 0,75t² + 5t + 12.

b) Khi cây được bán, tức là t = 6, ta có h(6) = 0,75 ∙ 6² + 5 ∙ 6 + 12 = 69.

Vậy khi được bán, cây cao 69 cm.

Bài 5 trang 8 Toán 12 Tập 2: Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

B'(t) = 20t³ – 300t² + 1 000t,

trong đó t tính bằng giờ (0 ≤ t ≤ 15), B'(t) tính bằng khách/giờ.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

Biết rằng sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội.

a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với 0 ≤ t ≤ 15.

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội là lớn nhất?

Lời giải:

a) Hàm số B(t) là một nguyên hàm của hàm số B'(t).

Ta có $\int B^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int \left(20t^3-300t^2+1000t\right)dt$

$=\int 20t^{3}dt-\int 300t^{2}dt+\int 1000tdt$.

Suy ra B(t) = 5t⁴ – 100t³ + 500t² + C.

Vì sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội nên B(1) = 500.

Do đó, 5 ∙ 1⁴ – 100 ∙ 1³ + 500 ∙ 1² + C = 500, suy ra C = 95.

Vậy công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội là

B(t) = 5t⁴ – 100t³ + 500t² + 95 (0 ≤ t ≤ 15).

b) Ta có B(3) = 5 ∙ 3⁴ – 100 ∙ 3³ + 500 ∙ 3² + 95 = 2 300.

Vậy sau 3 giờ có 2 300 khách tham dự lễ hội.

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B'(t) = 20t³ – 300t² + 1 000t.

Trên khoảng (0; 15), B'(t) = 0 khi t = 5 hoặc t = 10.

B(0) = 95; B(5) = 3 220; B(10) = 95; B(15) = 28 220.

Do đó, $\underset{\left[0;15\right]}{\max }B\left(t\right)=28220$  tại t = 15.

Vậy số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là 28 220 khách sau 15 giờ.

d) Tốc độ thay đổi lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất chính là giá trị lớn nhất của hàm số B'(t) trên đoạn [0; 15].

Ta có B''(t) = (20t³ – 300t² + 1 000t)' = 60t² – 600t + 1 000.

Trên khoảng (0; 15), B''(t) = 0 khi $t=\frac{15-5\sqrt{3}}{3}$  hoặc $t=\frac{15+5\sqrt{3}}{3}$ .

B'(0) = 0;$B\left(\frac{15-5\sqrt{3}}{3}\right)\approx 962,25;B\left(\frac{15+5\sqrt{3}}{3}\right)\approx -962,25$ ; B'(15) = 15 000.

Do đó, $\underset{\left[0;15\right]}{\max }{B}^{\text{'}}\left(t\right)=15000$  tại t = 15.

Bài 6 trang 8 Toán 12 Tập 2: Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi m(t) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi M(t) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng M'(t) = m(t).

Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số

m(t) = 800 – 2t,

trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 400), m(t) tính theo người.

(Nguồn: A. Bigalke et al., Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016)

Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng.

Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành).

Lời giải:

Hàm số M(t) là một nguyên hàm của hàm số m(t).

Ta có $\int m\left(t\right)dt=\int \left(800-2t\right)dt=\int 800dt-\int 2tdt=800t-t^2+C$.

Suy ra M(t) = 800t – t² + C.

Tại t = 0 thì M(t) = M(0) = 0.

Do đó 800 ∙ 0 – 0² + C = 0, suy ra C = 0.

Khi đó, M(t) = 800t – t² (0 ≤ t ≤ 400).

Số ngày công tính đến khi hoàn thành dự án là

M(400) = 800 ∙ 400 – 400² = 160 000 (ngày công).

Chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành dự án) là

160 000 ∙ 400 000 = 6,4 ∙ 10¹⁰ (đồng) = 64 (tỷ đồng).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Nguyên hàm hay khác:

• Giải Toán 12 trang 3
• Giải Toán 12 trang 4
• Giải Toán 12 trang 5
• Giải Toán 12 trang 6
• Giải Toán 12 trang 7

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---