Hoạt động khám phá 9 trang 41 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 9 trang 41 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Gọi M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) (Hình 17).

Quảng cáo

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}} = (x_{0} - x_{1}; y_{0} - y_{1}; z_{0} - z_{1})$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ .

b) Tính $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}$ theo A, B, C, D và tọa độ của M₀.

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $|\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}| = |\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}|$

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính $d (M_{0}, (α)) = |\vec{M_{1} M_{0}}| = \frac{|\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}|}{|\vec{n}|}$

Hoạt động khám phá 9 trang 41 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 12

Lời giải:

a) Vì M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) nên M₁M₀ ^ (α).

Do đó hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}} = (x_{0} - x_{1}; y_{0} - y_{1}; z_{0} - z_{1})$ và $\vec{n} = (A; B; C)$ cùng phương với nhau.

b) $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = A (x_{0} - x_{1}) + B (y_{0} - y_{1}) + C (z_{0} - z_{1})$

= Ax₀ + By₀ + Cz₀ – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Vì M₁(x₁; y₁; z₁) Î (α) nên ta có Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 ⇔ D = – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Do đó $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}$ = Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D.

c) Ta có $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = |\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}| . \cos (\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n})$ .

Mà do hai vectơ $\vec{M_{1} M_{0}}$ và $\vec{n}$ cùng phương với nhau nên $(\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) = 0 °$ hoặc $(\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) = 180 °$ .

+) Nếu $(\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) = 0 °$ thì $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = |\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}|$ .

+) Nếu $(\vec{M_{1} M_{0}}, \vec{n}) = 180 °$ thì $\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n} = - |\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}|$

Do đó $|\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}| = |\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}|$ .

d) Vì $|\vec{M_{1} M_{0}}| . |\vec{n}| = |\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}|$ nên

$d (M_{0}, (α)) = |\vec{M_{1} M_{0}}| = \frac{|\vec{M_{1} M_{0}} . \vec{n}|}{|\vec{n}|} = \frac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$