Giải Toán 12 trang 30 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 12 trang 30 Tập 2 trong Bài tập cuối chương 4 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 30.

Giải Toán 12 trang 30 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Bài 19 trang 30 Toán 12 Tập 2: Một chất điểm đang chuyển động với tốc độ v₀ = 1 m/s thì tăng tốc với gia tốc không đổi a = 3 m/s². Hỏi tốc độ của chất điểm là bao nhiêu sau 10 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc.

Lời giải:

Tốc độ của chất điểm tại thời điểm t kể từ khi bắt đầu tăng tốc là:

$v\left(t\right)=\int a\left(t\right)dt=\int 3dt=3t+C$.

Vì v(0) = 1 nên C = 1.

Do đó v(t) = 3t + 1.

Sau 10 giây tốc độ của chất điểm là: v(10) = 3.10 + 1 = 31 m/s.

Bài 20 trang 30 Toán 12 Tập 2: Tốc độ tăng dân số của một thành phố trong một số năm được ước lượng bởi công thức P'(t) = 20.(1,106)^t với 0 ≤ t ≤ 7, trong đó t là thời gian tính theo năm và t = 0 ứng với đầu năm 2015, P(t) là dân số của thành phố tính theo nghìn người. Cho biết dân số của thành phố đầu năm 2015 là 1008 nghìn người.

a) Tính dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 (làm tròn đến nghìn người).

b) Tính tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm của thành phố trong giai đoạn từ đầu năm 2015 đến đầu năm 2020.

Lời giải:

a) Dân số của thành phố vào năm thứ t là:

$P\left(t\right)=\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int 20.{\left(\mathrm{1,106}\right)}^{t}dt=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}+C$

Vì P(0) = 1008 nên $20.\frac{1}{\ln \mathrm{1,106}}+C=1008\Rightarrow C\approx 809$

Do đó $P\left(t\right)=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}+809$

Dân số của thành phố ở thời điểm đầu năm 2020 là:

$P\left(5\right)=20.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^5}{\ln \mathrm{1,106}}+809\approx 1137$ nghìn người.

b) Tốc độ tăng dân số trung bình hằng năm là:

$\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{5}{\int }}{P}^{\text{'}}\left(t\right)dt=\frac{1}{5}\underset{0}{\overset{5}{\int }}20.{\left(\mathrm{1,106}\right)}^{t}dt={\left.4.\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^t}{\ln \mathrm{1,106}}\right|}_0^5$

$=4.\left(\frac{{\left(\mathrm{1,106}\right)}^5}{\ln \mathrm{1,106}}-\frac{1}{\ln \mathrm{1,106}}\right)$ ≈ 26 nghìn người/năm.

Bài 21 trang 30 Toán 12 Tập 2: Sau khi được thả rơi tự do từ độ cao 100 m, một vật rơi xuống với tốc độ v(t) = 10t (m/s), trong đó t là thời gian tính theo giây kể từ khi thả vật.

a) Tính quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây (trong khoảng thời gian vật đang rơi).

b) Sau bao nhiêu giây thì vật chạm đất? Tính tốc độ rơi trung bình của vật.

Lời giải:

a) Quãng đường s(t) vật di chuyển được sau thời gian t giây là:

$s\left(t\right)=\int v\left(t\right)dt=\int 10tdt=5t^2+C$.

Vì s(0) = 0 nên C = 0.

Do đó s(t) = 5t² .

b) Vật chạm đất khi s(t) = 100 ⇔ 5t² = 100 => $t=2\sqrt{5}$(vì t > 0).

Vậy vật chạm đất sau $2\sqrt{5}\approx \mathrm{4,47}$ giây.

Tốc độ rơi trung bình là $\frac{1}{2\sqrt{5}}\underset{0}{\overset{2\sqrt{5}}{\int }}10tdt=\frac{1}{2\sqrt{5}}.{\left.5t^2\right|}_0^{2\sqrt{5}}=10\sqrt{5}$ m/s

Bài 22 trang 30 Toán 12 Tập 2: Cho S₁, S₂ là diện tích các hình phẳng được mô tả trong Hình 3. Tính $\frac{S_1}{S_2}$.

Lời giải:

Ta có $S_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+4x-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+3x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+3x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)\right|}_0^3$$=\frac{9}{2}$.

$S_2=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x\right|dx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx+\underset{3}{\overset{4}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$

$={\left.\frac{x^2}{2}\right|}_0^3+{\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_3^4$$=\frac{9}{2}+\frac{32}{3}-9=\frac{37}{6}$

Do đó $\frac{S_1}{S_2}=\frac{9}{2}:\frac{37}{6}=\frac{27}{37}$

Bài 23 trang 30 Toán 12 Tập 2: Nếu cắt chậu nước có hình dạng như Hình 4 bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy x (cm), (0 ≤ x ≤ 16) thì mặt cắt là hình tròn có bán kính $\left(10+\sqrt{x}\right)$ (cm). Tính dung tích của chậu.

Lời giải:

Diện tích của mặt cắt là: $S\left(x\right)=\pi {\left(10+\sqrt{x}\right)}^2$.

Dung tích của chậu là:

$V=\underset{0}{\overset{16}{\int }}S\left(x\right)dx=\pi \underset{0}{\overset{16}{\int }}{\left(10+\sqrt{x}\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{16}{\int }}\left(100+20\sqrt{x}+x\right)dx$

$=\pi {\left.\left(100x+\frac{40}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\frac{x^2}{2}\right)\right|}_0^{16}=\frac{7744}{3}\pi$

Bài 24 trang 30 Toán 12 Tập 2: Một chiếc lều mái vòm có hình dạng như Hình 5. Nếu cắt lều bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt đáy một khoảng x (m) (0 ≤ x ≤ 3) thì được hình vuông có cạnh $\sqrt{9-x^2}$(m). Tính thể tích của lều.

Lời giải:

Diện tích mặt cắt là: $S\left(x\right)=\left(9-x^2\right)$(m²).

Thể tích của lều là: $V=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(9-x^2\right)dx$$={\left.\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^3= 18.$

Bài 25 trang 30 Toán 12 Tập 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ nửa đường tròn tâm O, bán kính r = 2 nằm phía trên trục Ox. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi nửa đường tròn, trục Ox và hai đường thẳng x = −1, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục Ox.

s

Lời giải:

Phương trình nửa đường tròn nằm phía trên trục Ox có r = 2 là: $y=\sqrt{4-x^2}$.

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(4-x^2\right)dx$$=\pi {\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{-1}^1=\pi \left(\frac{11}{3}+\frac{11}{3}\right)=\frac{22\pi }{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

• Giải Toán 12 trang 28
• Giải Toán 12 trang 29

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---