Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai.

Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Tìm m để f(x) = ax² + bx + c thỏa mãn:

f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

Phương pháp giải:

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Với a = 0. (Nếu a ≠ 0 thì bỏ qua trường hợp này).

Trường hợp 2. Với a ≠ 0. Khi đó f(x) là tam thức bậc hai.

⦁ f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$

⦁ f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⦁ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$

* Chú ý:

− Ta có thể dùng Δ’ = b’² – ac với $b^{\text{'}}=\frac{b}{2}$ thay cho Δ khi b là số chẵn.

− Xét f(x) = ax² + bx + c.

   Khi đó f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ.

   Các dạng còn lại tương tự.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để tam thức bậc hai x² + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x² + (m + 1)x + 2m + 3 có hệ số a = 1 > 0.

Ta có Δ = (m + 1)² – 4(2m + 3) = m² – 6m – 11.

Để f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta <0\end{array}\right.$

⇔ m² – 6m – 11 < 0  (do a = 1 > 0)

Vậy với $3-2\sqrt{5}<m<3+2\sqrt{5}$ thì x² + (m + 1)x + 2m + 3 dương với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 2. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình  x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đặt f(x) = x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 có hệ số a = 1 > 0

Ta có Δ’ = (m – 2)² – (2m – 1) = m² – 6m + 5.

Để f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ thì $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}\le 0\end{array}\right.$

⇔ m² – 6m + 5 ≤ 0 (do a = a > 0)

⇔ 1 ≤ m ≤ 5.

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≥ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ℝ.

Ví dụ 3. Tìm các giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(m–1\right)x^2–2\left(m–2\right)x+2–m}}$ xác định với mọi x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải:

Hàm số f(x) xác định với mọi x ∈ ℝ khi g(x) = (m – 1)x² – 2(m – 2)x + 2 – m > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Trường hợp 1. Ta có m – 1 = 0 ⇔ m = 1.

Khi đó g(x) > 0 ⇔ 2x + 1 > 0 $\iff x>-\frac{1}{2}$ (không thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ).

Trường hợp 2. Ta có m – 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1. Khi đó g(x) là tam thức bậc hai.

g(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m–1>0\\ {\Delta }^{\text{'}}={\left[–\left(m–2\right)\right]}^2–\left(m–1\right)\left(2–m\right)<0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ 2m^2–7m+6<0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m>1\\ \frac{3}{2}<m<2\end{array}\right.\iff \frac{3}{2}<m<2.$

Vậy $\frac{3}{2}<m<2$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để bất phương trình x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 ≤ 0 vô nghiệm ⇔ x² + 2(m – 2)x + 2m – 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

$\iff \left\{\begin{array}{l}a>0\\ {\Delta }^{\text{'}}<0\end{array}\right.$

⇔ ∆’ = (m – 2)² – (2m – 1) < 0 (do a = 1 > 0)

⇔ m² – 6m + 5 < 0

⇔ 1 ≤ m ≤ 5

Vậy với 1 ≤ m ≤ 5 bất phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tam thức f(x) = 3x² + 2(2m – 1)x + m + 4 dương với mọi x khi

A. $–1<m<\frac{11}{4};$

B. $–\frac{11}{4}<m<1;$

C. $–\frac{11}{4}\le m\le 1;$

D. m < –1 hoặc $m>\frac{11}{4}.$

Bài 2. Tam thức f(x) = –2x² + (m – 2)x – m + 4 không dương với mọi x khi

A. m ∈ ℝ \ {6};

B. m ∈ ∅;

C. m = 6;

D. m ∈ ℝ.

Bài 3. Tam thức f(x) = x² – (m + 2)x + 8m + 1 không âm với mọi x khi

A. m > 28;

B. 0 ≤ m ≤ 28;

C. m < 1;

D. 0 < m < 28.

Bài 4. Bất phương trình x² – mx – m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x khi và chỉ khi

A. m  ≤ –4 hoặc m ≥ 0;

B. –4 < m < 0;

C. m  < –4 hoặc m > 0;

D. –4 ≤ m ≤ 0.

Bài 5. Giá trị của tham số m để bất phương trình –x² + (2m – 1)x + m < 0 có tập nghiệm S = ℝ là

A. $m=\frac{1}{2};$

B. $m=-\frac{1}{2};$

C. m ∈ ℝ;

D. m ∈ ∅.

Bài 6. Bất phương trình x² – (m + 2)x + m + 2 ≤ 0 vô nghiệm khi và chỉ khi

A. m ∈ (–∞; –2] ∪ [2; +∞);

B. m ∈ (–∞; –2) ∪ (2; +∞);

C. m ∈ [–2; 2]

D. m ∈ (–2; 2).

Bài 7. Số giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình (2m² – 3m – 2)x² + 2(m – 2)x – 1 ≤ 0 có tập nghiệm S = ℝ là

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Bài 8. Giá trị của m để hàm số $f\left(x\right)=\sqrt{\left(m+4\right)x^2–\left(m–4\right)x–2m+1}$ xác định với mọi x ∈ ℝ là

A. m ≤ 0;

B. $\frac{-20}{9}$ ≤ m ≤ 0;

C. m ≥ $\frac{-20}{9}$

D. m > 0.

Bài 9. Giá trị m để hàm số $f\left(x\right)=\frac{-x^2+4\left(m+1\right)x+1-4m^2}{-4x^2+5x-2}$ luôn dương là

A. m ≥ $-\frac{5}{8}$;

B. m < $-\frac{5}{8}$;

C. m < $\frac{5}{8}$;

D. m ≥ $\frac{5}{8}$.

Bài 10. Giá trị m để bất phương trình –2x² + 2(m – 2)x + m – 2 < 0 có nghiệm là

A. m ∈ ℝ;

B. m ∈ (–∞; 0) ∪ (2; +∞);

C. m ∈ (–∞; 0] ∪ [2; +∞);

D. m ∈ [0; 2].

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế

• Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

• Ứng dụng để giải các bài toán thực tế

• Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---