Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng.

Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng, hệ số góc của đường thẳng (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bài toán 1: Xác định vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của đường thẳng d.

Để giải được bài toán trên, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định xem phương trình đường thẳng d được cho ở dạng nào: phương trình tổng quát hay phương trình tham số.

Bước 2. Xác định vectơ chỉ phương (VTCP), vectơ pháp tuyến (VTPT), hệ số góc của đường thẳng d:

⦁ Nếu phương trình đường thẳng d có dạng: ax + by + c = 0 thì phương trình đường thẳng d nhận vectơ $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ làm VTPT.

⦁ Nếu phương trình đường thẳng d có dạng: $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.$ thì phương trình đường thẳng d nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ làm VTCP.

Chú ý:

• Vectơ $\overrightarrow{n}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là VTPT của đường thẳng d nếu giá của nó vuông góc với đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là VTPT của đường thẳng d: ax + by + c = 0 thì $k\overrightarrow{n}\left(k\ne 0\right)$ cũng là VTPT của đường thẳng d.

• Vectơ $\overrightarrow{u}$ khác $\overrightarrow{0}$ được gọi là VTCP của đường thẳng d nếu giá của nó song song hoặc trùng với đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ là VTCP của đường thẳng d:$\left\{\begin{array}{l}x=x_0+u_{1}t\\ y=y_0+u_{2}t\end{array}\right.$ thì $k\overrightarrow{u}\left(k\ne 0\right)$ cũng là VTCP của đường thẳng d.

• Nếu $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ là một VTPT của đường thẳng d thì $\overrightarrow{u}=\left(-b;a\right)$ hoặc $\overrightarrow{u}=\left(b;-a\right)$ là một VTCP của đường thẳng d.

Bài toán 2: Xác định hệ số góc của đường thẳng d.

Bước 1. Xác định VTPT hoặc VTCP của đường thẳng d.

Bước 2. Xác định hệ số góc của đường thẳng

⦁ Nếu đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n}=\left(a;b\right)$ thì đường thẳng d có hệ số góc là $k=-\frac{a}{b}\left(b\ne 0\right)$.

⦁ Nếu đường thẳng d có VTCP là $\overrightarrow{u}=\left(u_1;u_2\right)$ thì đường thẳng d có hệ số góc là $k=\frac{u_2}{u_1}\left(u_1\ne 0\right)$.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Xác định vectơ pháp tuyến của đường thẳng d: 2x – 3y + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: 2x – 3y + 5 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$

Ví dụ 2. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-3-t\end{array}\right.$. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-3-t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{n}=\left(3;-1\right)$.

Ví dụ 3. Xác định hệ số góc của mỗi đường thẳng sau:

a) $\left(d\right):x-2y+3=0;$

b) $\left(d^{\text{'}}\right):\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-6t\end{array}\right..$

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng $\left(d\right):x-2y+3=0$ có một vectơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right).$

Khi đó đường thẳng $\left(d\right):x-2y+3=0$ có hệ số góc là $k=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}.$

b) Đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-6t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là: $\overrightarrow{u}=\left(2;-6\right).$

Khi đó đường thẳng $\left(d^{\text{'}}\right):\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=-6t\end{array}\right.$có hệ số góc là $k=\frac{-6}{2}=-3.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: x – 2y + 3 = 0. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;-2\right)$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;1\right)$

C. $\overrightarrow{n}=\left(-2;3\right)$

D. $\overrightarrow{n}=\left(1;3\right)$

Bài 2. Cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-4+5t\\ y=1-t\end{array}\right.$. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-4;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(5;-1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(-1;-5\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(1;-5\right)$

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: –5x + y + 3 = 0. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-5;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;3\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;-5\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(-3;-1\right)$

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=1-2t\\ y=7+3t\end{array}\right.$. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là

A. $\overrightarrow{n}=\left(1;7\right)$

B. $\overrightarrow{n}=\left(2;-1\right)$

C. $\overrightarrow{n}=\left(-2;3\right)$

D. $\overrightarrow{n}=\left(3;2\right)$

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 5y + 2023 = 0. Hệ số góc của đường thẳng d là

A. $k=-\frac{3}{5}$

B. $k=-\frac{5}{3}$

C. $k=\frac{3}{5}$

D. $k=\frac{5}{3}$

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(−1; 2) và B(4; −3). Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là

A. $\overrightarrow{u}=\left(3;1\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;-1\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;-2\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(3;-4\right).$ Đường thẳng Δ song song với d có vectơ pháp tuyến là

A. $\overrightarrow{n}=\left(4;3\right)$

B. $\overrightarrow{n}=\left(-4;3\right)$

C. $\overrightarrow{n}=\left(3;4\right)$

D. $\overrightarrow{n}=\left(3;-4\right)$

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(-2;-5\right).$ Đường thẳng Δ song song với d có vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(5;-2\right)$

B. $\overrightarrow{u}=\left(-5;-2\right)$

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;5\right)$

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;-5\right)$

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-7\right).$ Đường thẳng Δ vuông với d có vectơ pháp tuyến là

A. ${\overrightarrow{n}}_1=\left(7;1\right)$

B. ${\overrightarrow{n}}_2=\left(-\frac{7}{3};-\frac{1}{3}\right)$

C. ${\overrightarrow{n}}_3=\left(-\frac{7}{2};\frac{1}{2}\right)$

D. ${\overrightarrow{n}}_4=\left(-2;14\right)$

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(-4;-5\right)$. Khẳng định nào sau đây là sai về đường thẳng Δ?

A. Đường thẳng Δ có một vectơ chỉ phương là ${\overrightarrow{u}}_1=\left(4;5\right)$

B. Đường thẳng Δ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(-5;4\right)$

C. Đường thẳng Δ có hệ số góc là $k=-\frac{5}{4}$

D. Đường thẳng Δ có một vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(\frac{5}{2};-2\right)$

Bài tập bổ sung

Bài 1. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng 2x – 3y+ 7= 0.

Hướng dẫn giải:

Cho đường thẳng d: ax + by + c= 0. Khi đó; đường thẳng d nhận vecto (a; b) làm VTPT.

Do đó, đường thẳng d nhận vecto $\overrightarrow{n}(2;-3)$ là VTPT.

Bài 2. Tìm vectơ pháp tuyến của d: 2x – 19y+ 2098 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ax + by + c= 0 có VTPT là $\overrightarrow{n}(a;b)$.

Do đó, đường thẳng d có VTPT $\overrightarrow{n}(2;-19)$.

Bài 3. Cho đường thẳng d: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d: $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1$ hay (d): 3x + 2y – 6 = 0

Do đó, đường thẳng d nhận vecto $\overrightarrow{n}(3;2)$ làm VTPT.

Bài 4. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-3-t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Ta đưa phương trình đường thẳng đã cho về dạng tổng quát:

2x + 3y – 6 = 0 nên đường thẳng có VTPT là $\overrightarrow{n}(2;3)$.

Suy ra VTCP là $\overrightarrow{u}(3;-2)$.

Bài 5. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng d: 2x – 5y – 100 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có VTPT là $\overrightarrow{n}(2;-5)$ nên đường thẳng có VTCP là $\overrightarrow{u}(5;2)$.

Bài 6. Tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng 3x – 5y+ 2= 0.

Bài 7. Tìm vectơ pháp tuyến của đường phân giác góc phần tư thứ hai.

Bài 8. Cho đường thẳng d: $\frac{x}{5}+\frac{y}{7}=1$. Tìm vecto pháp tuyến của đường thẳng d.

Bài 9. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua hai điểm A(2; –4) và B(–3; –7).

Bài 10. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và điểm M(a; b).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình đường thẳng khi biết VTPT hoặc VTCP hoặc hệ số góc và 1 điểm đi qua

• Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc hoặc song song với một đường thẳng cho trước

• Viết phương trình cạnh, đường cao, trung tuyến, phân giác của tam giác

• Phương trình đoạn chắn của đường thẳng

• Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---