Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước.

Xác định góc giữa hai đường thẳng cho trước (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Xác định góc α giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Để giải được bài toán trên, ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Xác định các vectơ pháp tuyến của đường thẳng d₁ và d₂.

Đường thẳng d₁ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_1=\left(a_1;b_1\right)$.

Đường thẳng d₂ có vectơ pháp tuyến là ${\overrightarrow{n}}_2=\left(a_2;b_2\right)$.

Bước 2. Xác định góc α giữa hai đường thẳng d₁ và d₂:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_1\right|.\left|{\overrightarrow{n}}_2\right|}=\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\cdot \sqrt{a_2^2+b_2^2}}.$

Chú ý:

• d₁ ⊥ d₂ khi và chỉ khi ${\overrightarrow{n}}_1\perp {\overrightarrow{n}}_2$ tức là a₁a₂ + b₁b₂ = 0.

• Nếu d₁, d₂ có các vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2$ thì góc α giữa d₁, d₂ cũng được xác định thông qua công thức $\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right)\right|$

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính góc giữa hai đường thẳng Δ: $x-\sqrt{3}y+2=0$ và Δ’: $x+\sqrt{3}y-1=0$

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng Δ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_1\left(1;-\sqrt{3}\right)$, đường thẳng Δ’ có vectơ pháp tuyến ${\overrightarrow{n}}_2\left(1;\sqrt{3}\right)$.

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng Δ, Δ’. Khi đó:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{n}}_1,{\overrightarrow{n}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{n}}_1\right|.\left|{\overrightarrow{n}}_2\right|}=\frac{\left|1\cdot 1+\left(-\sqrt{3}\right)\cdot \sqrt{3}\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}\cdot \sqrt{1^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}=\frac{1}{2}.$

Do đó α = 60°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng Δ và Δ’ là 60°.

Ví dụ 2. Cho hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=1+5t\\ y=-2t\end{array}\right.$và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+7t\\ y=3t\end{array}\right..$ Tính góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_1\left(5;-2\right)$

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương ${\overrightarrow{u}}_2\left(7;3\right)$

Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Khi đó:

$\cos \alpha =\left|\cos \left({\overrightarrow{u}}_1,{\overrightarrow{u}}_2\right)\right|=\frac{\left|{\overrightarrow{u}}_1.{\overrightarrow{u}}_2\right|}{\left|{\overrightarrow{u}}_1\right|\cdot \left|{\overrightarrow{u}}_2\right|}=\frac{\left|5\cdot 7+\left(-2\right)\cdot 3\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-2\right)}^2}\cdot \sqrt{7^2+3^2}}=\frac{29}{29\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Do đó α = 45°.

Vậy góc giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là 45°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi hai đường thẳng d₁: 2x – y – 10 = 0 và d₂: x – 3y + 9 = 0 bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 135°.

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d₁: $\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1+2\sqrt{3}t\end{array}\right.$ và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=t\end{array}\right.$ bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d₁: 6x – 5y + 15 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=10-6t\\ y=1+5t\end{array}\right.$ bằng

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d₁: x + 2y – 7 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=-1+2t\\ y=3+t\end{array}\right..$ Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng d₁ và d₂ là

A. $-\frac{3}{5}$

B. $\frac{2}{\sqrt{5}}$

C. $\frac{3}{5}$

D. $\frac{3}{\sqrt{5}}$

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d₁: x + 2y – 2 = 0 và d₂: x – y = 0. Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$

D. $\sqrt{3}$

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, góc giữa hai đường thẳng Δ₁: x – 2y + 15 = 0 và Δ₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=4+2t\end{array}\right.$ bằng

A. 5°;

B. 60°;

C. 0°;

D. 90°.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 3x + 4y + 1 = 0 và d₂:$\left\{\begin{array}{l}x=15+12t\\ y=1+5t\end{array}\right.$ .Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. $\frac{55}{65}$

B. $-\frac{33}{65}$

C. $\frac{6}{65}$

D. $\frac{33}{65}$

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d₁: 10x + 5y – 1 = 0 và d₂: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-t\end{array}\right..$ Cosin của góc tạo bởi giữa hai đường thẳng đã cho là

A. $\frac{3\sqrt{10}}{10}$

B. $\frac{3}{5}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{10}$

D. $\frac{3}{10}$

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d₁: (3 + m)x – (m – 1)y = 0 tạo với đường thẳng d₂: (m – 2)x + (m + 1)y – 20 = 0 một góc 90°. Giá trị của m là

A. m = 5;

B. m = –5;

C. m = 6;

D. m = 4.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đường thẳng d₁: 2mx + (m – 3)y – 1  = 0 tạo với đường thẳng d₂: (m – 1)x + (–2m + 2)y – 2 = 0 (với m ≠ 1) một góc 45°. Giá trị m nào sau đây là một trong những giá trị thỏa mãn yêu cầu đề bài?

A. $m=\frac{9}{5}$;

B. m = 1;

C. m = 5;

D. m = 0.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường thẳng liên quan đến khoảng cách

• Một số bài toán liên quan đến diện tích

• Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

• Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc

• Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---