Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

---

---

Với Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Các bài toán về tổng và hiệu của hai vectơ và cách giải

A. Lí thuyết. 

- Tổng của hai vectơ: Cho hai vectơ tùy ý. Lấy một điểm A tùy ý, vẽ vectơ Vectơ được gọi là tổng của hai vectơ tức là: .

- Tính chất của phép cộng các vectơ: Với các vectơtùy ý ta có:

+) (tính chất giao hoán);

+)   (tính chất kết hợp);

+)  (tính chất của vectơ – không)

- Vectơ đối: Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với vectơđược gọi là vectơ đối của vectơ . Kí hiệu là -.

- Hiệu của hai vectơ: Cho hai vectơ tùy ý. Ta có:   .

- Quy tắc ba điểm: Với A, B, C tùy ý ta luôn có: và 

- Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì   .

- Quy tắc trung điểm: Với I là trung điểm của đoạn thẳng AB ⇔   .

- Quy tắc trọng tâm: Với G là trọng tâm của tam giác ABC ⇔  .

- Chú ý: Vectơ đối của vectơ - không là vectơ - không. 

B. Các dạng bài. 

Dạng 1: Tìm tổng của hai hay nhiều vectơ.

Phương pháp giải: 

Dùng định nghĩa tổng của hai vectơ, quy tắc ba điểm về tổng, quy tắc hình bình hành và các tính chất của tổng các vectơ. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho 5 điểm tùy ý A, B, C, D, E. Tính tổng .

Giải: 

 

=(áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp)

=(áp dụng quy tắc ba điểm)

= (áp dụng tính chất giao hoán)

=  (áp dụng quy tắc ba điểm)

Bài 2: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tính tổng và  

Giải: 

+) Vì ABCD là hình vuông ⇒ AB // DC và AB = DC.

 ⇒  

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho D, C, B ta có:  

⇒ 

+) Vì A, O, C cùng nằm trên một đường thẳng và OA = OC (O là tâm hình vuông ABCD) ⇒ ⇒  

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho O, A, D ta có: ⇒  

 Dạng 2: Tìm vectơ đối và hiệu của hai vectơ. 

Phương pháp giải: 

Dùng định nghĩa hiệu của hai vectơ, tìm vectơ đối và áp dụng quy tắc ba điểm về hiệu. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm vectơ đối của các vectơ .

Giải: 

+) Vì = AB và ngược hướng với  .

+) Vì AB = DC , AB // DC (do ABCD là hình vuông) 

⇒ và ngược hướng với   .

+) Vì A, O, C là ba điểm thẳng hàng và OA = OC (do ABCD là hình vuông) 

⇒ ngược hướng với và ⇒  .

Vậy là vectơ đối của vectơ và là vectơ đối của   .

Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Tính các hiệu .

Giải:

+) Vì = AB và ngược hướng với .

+) Ta có:   .

+) Áp dụng quy tắc ba điểm cho ba điểm A, D, B có:     .

+) Vì= OD và ngược hướng với  .

+) Ta có:  .

Dạng 3: Chứng minh đẳng thức vectơ.

Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, trung điểm, trọng tâm, để biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức hoặc biến đổi cả hai vế để được hai vế bằng nhau hoặc ta cũng có thể biến đổi đẳng thức véctơ cần chứng minh đó tương đương với một đẳng thức vectơ đã được công nhận là đúng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho sáu điểm tùy ý A, B, C, D, E, F. Chứng minh đẳng thức sau: 

 

Giải: 

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:   .

⇒ VT =  

⇒ VT =  

+) Áp dụng quy tắc ba điểm ta có: 

⇒ VT =  

⇒ VT =   (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Cho tam giác ABC. Cho M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Điểm O bất kì. Chứng minh đẳng thức:  .

Giải: 

Giả sử  là đúng.

⇒  

⇒     (1)

Vì N là trung điểm của AC ⇒    

Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình và P là trung điểm của BC . 

⇒ MN = BC = BP ⇒    

(1)  ⇔  

⇔  

⇔  

⇔  (luôn đúng)

 Đẳng thức   là đúng.

Dạng 4: Tính độ dài các vectơ tổng hoặc hiệu. 

Phương pháp giải: 

Đưa tổng hoặc hiệu của các véctơ về một véctơ có độ dài là một cạnh của đa giác để tính độ dài của vectơ. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Biết AB = 4a, AD = 2a. Tính   .

Giải: 

+) Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: 

 

⇒  

+) Vì ABCD là hình chữ nhật  BC = AD = 2a.

+) Xét tam giác ABC vuông tại B.

Áp dụng định lý Py-ta-go ta có:

AC² = AB² + BC²   

 ⇒ AC² = (4a)² + (2a)² = 20a²

 ⇒ AC =  

 ⇒ = AC = 

Bài 2: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính .

 

Giải: 

+) Vì = AB và ngược hướng với   .

 ⇒  

+) Ta có:  

⇒  

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh rằng  .

Đáp án:  

Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O. Tính tổng sau: 

 

Đáp án:  

Bài 3: Cho 5 điểm tùy ý M, N, P, Q, E. Tính tổng .

Đáp án:  

Bài 4: Cho hình thoi ABCD tâm O. Tìm các vectơ đối của vectơ .

Đáp án:  

Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Tính hiệu   .

Đáp án:    

Bài 6: Cho tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Tính hiệu   .

 

Đáp án:  

Bài 7: Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh đẳng thức sau: 

 

Đáp án: VT = = VP

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Chứng minh rằng: 

 

Đáp án: VT = VP = mà ⇒ VT = VP  

Bài 9: Cho hình bình hành ABCD. O là điểm tùy ý thuộc đường chéo AC. Từ O kẻ đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành, cắt AB tại M, cắt DC tại N, cắt BC tại F, cắt AD tại E. Chứng minh:  .

Đáp án: VP = = VT   

Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD tâm O . Biết AB = 2a, AD = a. Tính  

Đáp án:  

Bài 11: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A. Có ∠B = 60^o , AB = a. Tính   .

Đáp án:    

Bài 12: Cho hình thoi ABCD tâm O cạnh a. Biết ∠BAD = 60^o . Tính    

Đáp án:  

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Các định nghĩa về vectơ
• Tích của vectơ với môt số
• Các dạng bài tập về phân tich vectơ
• Các dạng bài tập về toạ độ của vectơ, toạ độ của một điểm

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---