Chứng minh đẳng thức vectơ (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức vectơ.

Chứng minh đẳng thức vectơ (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Để chứng minh đẳng thức vectơ, ta thực hiện các phép biến đổi theo một trong các hướng sau:

- Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).

- Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.

- Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

• Ta thường sử dụng các quy tắc sau để biến đổi:

- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C ta luôn có $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$.

- Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$.

- Quy tắc trung điểm: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ với I là trung điểm của AB.

- Quy tắc trọng tâm: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ với G là trọng tâm của tam giác ABC.

- Sử dụng các tính chất của phép cộng, phép trừ hai vectơ.

...

2. Ví dụ minh họa.

Ví dụ 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

Hướng dẫn giải:

Xét đẳng thức: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$. Ta có:

$VT=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$

$=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}\right)+\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)$  (áp dụng quy tắc 3 điểm)

$=\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}\right)+\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{0}$

$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$ = VP.

Vậy đẳng thức được chứng minh.

Ví dụ 2. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD}$

$\iff \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{0}$

$\iff \left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\right)+\left(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CA}\right)=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$

$\iff \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$ (luôn đúng).

Vậy đẳng thức được chứng minh.

3. Bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HD}$

B. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HD}$

C. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}$

D. $\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=-\overrightarrow{HA}$

Bài 2. Cho tam giác ABC và G, H, O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Gọi D là điểm đối xứng của A qua O. Khẳng định nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}$;

B. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HD}$;

C. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HD}$;

D. $\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{HB}+\overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA}-\overrightarrow{HB}$.

Bài 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Biểu thức $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}$ bằng biểu thức nào sau đây ?

A. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$;

B. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CD}$;

C. $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CD}$;

D. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}$.

Bài 4. Cho 4 điểm A, B, C, D. Biết $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$. Đẳng thức nào dưới đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$;

B. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$;

C. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}$;

D. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CD}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{RC}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$;

C. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{0}$;

D. $\overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\overrightarrow{0}$.

Bài 6. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}$;

B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$;

C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$;

D. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}$;

B. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$;

C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$;

D. $\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BD}$.

Bài 8. Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BD}$;

D. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 9. Cho hình vuông ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{AO}$;

D. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 10. Cho hình thoi ABCD tâm O. Đẳng thức nào sau đây là đúng ?

A. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{AB}$;

B. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{AC}$;

C. $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$;

D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BD}$ .

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Tính độ dài của tổng và hiệu hai hay nhiều vectơ

• Xác định các điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

• Tính độ dài vectơ khi biết tích vectơ với một số

• Tìm một điểm thỏa mãn một đẳng thức vectơ cho trước

• Chứng minh đẳng thức vectơ

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---