Lý thuyết Tổng hợp chương Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác



Lý thuyết Tổng hợp chương Cung và góc lượng giác. Công thức lượng giác

CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

I. KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác

Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.

Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B.

Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Góc lượng giác

Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C tới D tạo nên cung lượng giác nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD.

Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

3. Đường tròn lượng giác

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1.

Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm

A(1; 0), A’(–1; 0); B(0; 1); B(0; –1).

Ta lấy A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó.

Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

II. SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC

1. Độ và radian

a) Đơn vị radian

Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.

b) Quan hệ giữa độ và radian

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

c) Độ dài của một cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là π rad và có độ dài là πR. Vậy cung có số đo α rad của đường tròn bán kính R có độ dài

l = Rα.

2. Số đo của một cung lượng giác

Số đo của một cung lượng giác Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (A ≠ M) là một số thực âm hay dương.

Kí hiệu số đo của cung Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là sđ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án.

Ghi nhớ

Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 2π.

Ta viết

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α + k2π , k ∈ Z

trong đó α là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu là A, điểm cuối là M

3. Số đo của một góc lượng giác

Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án tương ứng.

Chú ý Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại.

4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác

Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo α trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α

GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α

1. Định nghĩa

Trên đường tròn lượng giác cho cung Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án có sđ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α (còn viết Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = α)

Tung độ y = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án của điểm M gọi là sin của α và kí hiệu là sinα

sin α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Hoành độ x = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp áncủa điểm M gọi là côsin của α và kí hiệu là cosα

cos α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu cos α ≠ 0, tỉ số Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án gọi là tang của α và kí hiệu là tan α (người ta còn dùng kí hiệu tg α)

Tan α = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nếu sinα ≠ 0 tỉ số Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án gọi là côtang của α và kí hiệu là cotα (người ta còn dùng kí hiệu cotg α)

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα được gọi là các giá trị lượng giác của cung α. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin

2. Hệ quả

1) sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R. Hơn nữa, ta có

sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z;

cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z

2) Vì –1 ≤ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ≤ 1; –1 ≤ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ≤ 1 nên ta có

–1 ≤ sin α ≤ 1

–1 ≤ cos α ≤ 1

3) Với mọi m ∈ R mà –1 ≤ m ≤ 1 đều tồn tại α và β sao cho sin α = m và cos β = m.

4) tanα xác định với mọi α ≠ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án + kπ (k ∈ Z)

5) cotα xác định với mọi α ≠ kπ (k ∈ Z)

6) Dấu của các giá trị lượng giác của góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối của cung = α trên đường tròn lượng giác.

Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác

Giá trị lượng giác |Góc phần tư I II III IV
cos α + - - +
sin α + + - -
tan α + - + -
cot α + - + -

3. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

II. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG

1. Ý nghĩa hình học của tan α

Từ A vẽ tiếp tuyến t’At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A.

Gọi T là giao điểm của OM với trục t’At.

tanα được biểu diễn bởi độ dài đại số của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án trên trục t’At. Trục t’At được gọi là trục tang.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Ý nghĩa hình học của cot α

Từ B vẽ tiếp tuyến s’Bs với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại B.

Gọi S là giao điểm của OM với trục s’Bs

cot α được biểu diển bởi độ dài đại số của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

1. Công thức lượng giác cơ bản

Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau

sin2α + cos2α = 1

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

1) Cung đối nhau: α và –α

cos(-α) = cos α

sin(-α) = –sin α

tan(-α) = –tan α

cot(-α) = –cot α

2) Cung bù nhau: α và π-α

sin(π-α) = sin α

cos(π-α) = –cos α

tan(π-α) = –tan α

cot(π-α) = –cot α

3) Cung hơn kém π : α và (α + π)

sin(α + π) = –sin α

cos(α + π) = –cos α

tan(α + π) = tan α

cot(α + π) = cot α

4) Cung phụ nhau: α và ( Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án – α)

sin(Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án – α) = cos α

cos(Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án – α) = sin α

tan(Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án – α) = cot α

cot(Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án – α) = tan α

CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

I. CÔNG THỨC CỘNG

cos(a – b) = cos a.cos b + sina.sin b

cos(a + b) = cos a.cos b – sina.sin b

sin(a – b) = sin a.cos b – cosa.sin b

sin(a + b) = sin a.cos b + cosa.sin b

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

sin2 a = 2sin a.cos a

cos2 a = cos2 α – sin2α = 2 cos2α – 1 = 1 – 2 sin2 α

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

III. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

cos a.cos b = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án [cos(a – b) + cos(a + b)]

sin a.sin b = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án [cos(a – b) – cos(a + b)]

sin a.cos b = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án [sin(a – b) + sin(a + b)].

2. Công thức biến đổi tổng thành tích

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Tường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


cung-va-goc-luong-giac-cong-thuc-luong-giac.jsp