Lý thuyết tổng hợp chương Vectơ



Lý thuyết tổng hợp chương Vectơ

CÁC ĐỊNH NGHĨA

1. Khái niệm vectơ

Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.

Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.

Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Vectơ còn được kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.

2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng

Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án cùng phương.

3. Hai vectơ bằng nhau

Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được kí hiệu là |Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án| , như vậy |Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án| = AB.

Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.

Hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý. Khi cho trước vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

4. Vectơ – không

Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.

Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và được gọi là vectơ – không.

TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ

1. Tổng của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Lấy một điểm A tùy ý, vẽ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được gọi là tổng của hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Ta kí hiệu tổng của hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

2. Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

3. Tính chất của phép cộng các vectơ

Với ba vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án tùy ý ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất giao hoán);

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất kết hợp);

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (tính chất của vectơ – không).

4. Hiệu của hai vectơ

a) Vectơ đối

Cho vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án được gọi là vectơ đối của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án , kí hiệu là -Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án.

Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Đặc biệt, vectơ đối của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án.

b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ

Định nghĩa. Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Ta gọi hiệu của hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Như vậy Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý

1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.

2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (quy tắc ba điểm);

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án (quy tắc trừ).

5. Áp dụng

a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ

1. Định nghĩa

Cho số k ≠ 0 và vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Tích của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án với số k là một vectơ, kí hiệu là kToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án , cùng hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nếu k > 0, ngược hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án|

2. Tính chất

Với hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án bất kì, với mọi số h và k, ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác

a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Điều kiện cần và đủ để hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án cùng phương là có một số k để

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương

Cho hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án không cùng phương. Khi đó mọi vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

1. Trục và độ dài đại số trên trục

a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta kí hiệu trục đó là (O ; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ).

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ). Khi đó có duy nhất một số k sao cho Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Ta gọi số k đó là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

c) Cho hai điểm A và B trên trục (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ). Khi đó có duy nhất số a sao cho Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đối với trục đã cho và kí hiệu a = Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét.

Nếu Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án cùng hướng với Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = AB, còn nếu Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ngược hướng với thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = –AB.

Nếu hai điểm A và B trên trục (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ) có tọa độ lần lượt là a và b thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án = b – a .

2. Hệ trục tọa độ

a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án;Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án) gồm hai trục (O;Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án) và (O;Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án ) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp ánToán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Hệ trục tọa độ (O; Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án;Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án) còn được kí hiệu là Oxy

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.

b) Tọa độ của vectơ

Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án và cặp số duy nhất (x; y) để Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Như vậy Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đối với hệ tọa độ Oxy và viết Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án= (x; y) hoặc Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án(x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Như vậy

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

c) Tọa độ của một điểm

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án đối với hệ trục Oxy được gọi là tọa độ của điểm M đối với hệ trục đó.

Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án Khi đó ta viết M(x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M, còn được kí hiệu là yM.

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chú ý rằng, nếu MM1 ⊥ Ox, MM2 ⊥ Oy thì Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng

Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Ta có

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

3. Tọa độ của các vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Ta có các công thức sau:

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Nhận xét. Hai vectơ Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2.

4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác

a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức

Toán lớp 10 | Chuyên đề: Lý thuyết và Bài tập Toán 10 có đáp án

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 10 tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2004 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Toán lớp 10 - Thầy Phạm Như Toàn

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Vật Lý 10 - Thầy Quách Duy Trường

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Tiếng Anh lớp 10 - Thầy Quang Hưng

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Ngữ Văn lớp 10 - thầy Nguyễn Thanh Bình

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Hóa học lớp 10 - cô Trần Thanh Thủy

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


vecto.jsp