Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

---

---

Với loạt Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập

A. Lí thuyết tổng hợp

1. Các vectơ của đường thẳng:

+) Vectơ chỉ phương: Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng nếu # 0 và giá của song song hoặc trùng với  .

+) Vectơ pháp tuyến: Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng nếu # 0 và vuông góc với vectơ chỉ phương của  .

+) Nhận xét: 

- Nếu là một vectơ chỉ phương của đường thẳng thì k (k#0) cũng là một vectơ chỉ phương của  .

- Nếu là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng thì k (k#0) cũng là một vectơ pháp tuyến của  .

- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.

- Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương, vô số vectơ pháp tuyến. 

2. Phương trình tổng quát của đường thẳng: 

+) Định nghĩa: Phương trình : ax + by + c = 0 (a² + b² # 0) là phương trình tổng quát của đường thẳng nhận  (a; b) làm vectơ pháp tuyến.

+) Các dạng đặc biệt: 

: ax + c = 0 , a#0   song song với Oy hoặc trùng với Oy khi a = 1 và c = 0.

: ay + c = 0 , a#0   song song với Ox hoặc trùng với Ox khi a = 1 và c = 0.

: ax + by = 0 , a² + b² # 0  đi qua gốc tọa độ O(0; 0)

3. Phương trình tham số của đường thẳng: 

+) Định nghĩa: Hệ , a² + b² # 0 là phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A(x₀;y₀) và nhận vectơ (a;b) làm vectơ chỉ phương, với t là tham số.

+) Chú ý:

Với mỗi t R thay vào phương trình tham số ta được một điểm M (x; y)  

Một đường thẳng có vô số phương trình tham số. 

- Phương trình chính tắc: (a.b#0) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x₀;y₀) và nhận (a;b) làm vectơ chỉ phương.

- Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A (a; 0), B (0; b) với a.b#0 có phương trình đoạn chắn là  = 1.

4. Hệ số góc: 

Phương trình đường thẳng đi qua điểm M(x₀;y₀) có hệ số góc k thỏa mãn: y - y₀ = k(x-x₀)

+ Nếu có vectơ chỉ phương = (u₁;u₂) với u₁#0 thì hệ số góc của là k =

+ Nếu có hệ số góc k thì  có vectơ chỉ phương là  = (1;k)

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng: 

+) Xét hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

  (1)

Ta có các trường hợp sau: 

TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm (x₀;y₀) d₁d₂ tại M(x₀;y₀)

TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm d₁ trùng với d₂

TH3: Hệ (1) vô nghiệm d₁//d₂

+) Chú ý: Với a₂, b₂, c₂ #0 ta có:

d₁ d₂

d₁//d₂  

d₁ d₂

6. Góc giữa hai đường thẳng: 

+ Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có vectơ pháp tuyến với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0, góc giữa hai đường thẳng đó được kí hiệu là (d₁,d₂), (d₁,d₂) luôn nhỏ hơn hoặc bằng . Đặt = (d₁,d₂) ta có:

cos = |cos| =

+ Chú ý: 

d₁d₂  a₁a₂ +  b₁b₂ = 0

Nếu d₁ và d₂  có phương trình đường thẳng là y = k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂  thì d₁d₂ k₁k₂ = -1

7. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: 

Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x₀;y₀). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d (M,  ) và tính bằng công thức:

d (M, ) =

B. Các dạng bài. 

Dạng 1: Cách viết các dạng phương trình đường thẳng. 

Phương pháp giải:

a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng  

+ Tìm vectơ pháp tuyến (a; b) của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc  

+ Viết phương trình theo công thức: a(x-x₀) + b(y-y₀) = 0

+ Biến đổi thành dạng ax + by + c = 0

Nếu đường thẳng song song với đường thẳng : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát ax + by + c’ = 0, c ≠ c’.

Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng  : ax + by + c = 0 thì có phương trình tổng quát -bx + ay + c’ = 0, c ≠ c’.

b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng

+ Tìm vectơ chỉ phương = (u₁;u₂) của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc  

+ Viết phương trình tham số:

Nếu có hệ số góc k thì có vectơ chỉ phương = (1;k)

Nếu có vectơ pháp tuyến (a;b) thì có vectơ chỉ phương = (-b;a) hoặc  = (b;-a) và ngược lại.

c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng . (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương = (a;b) với a.b#0)

+ Tìm vectơ chỉ phương = (a;b) (a.b#0) của đường thẳng  

+ Tìm một điểm M(x₀;y₀) thuộc  

+ Viết phương trình chính tắc:

d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng  (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy)

+ Tìm hai giao điểm của   với trục Ox, Oy lần lượt là A(a; 0), B(0; b)

+ Viết phương trình đoạn chắn  = 1 (a.b#0).

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho đường thẳng d cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng d. 

Lời giải:

Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng d nên ta có  là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

= (6-0;0-5) = (6;-5)

Vectơ pháp tuyến của d là  (5;6)

Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng d, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng d: 

5.(x – 0) + 6.(y – 5) = 0

  5x + 6y – 30 = 0

Vì đường thẳng d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn:  = 1.

Bài 2: Cho đường thẳng d đi qua hai điểm M(5; 8) và N(3; 1). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng d. 

Lời giải:

Vì M(5; 8) và N(3; 1) thuộc đường thẳng d nên ta có là vectơ chỉ phương của đường thẳng d, có = (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)

Chọn điểm N(3; 1) thuộc đường thẳng d ta có phương trình tham số của đường thẳng d:

Chọn điểm M(5; 8) thuộc đường thẳng d ta có phương trình chính tắc của đường thẳng d:  

Dạng 2: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải: 

Áp dụng lí thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0. 

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: 

  (1)

Với a₂, b₂, c₂ #0 ta có:

d₁ d₂

d₁//d₂  

d₁ d₂

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau:

a) d₁: 4x - 10y + 1 = 0 và d₂ : x + y + 2 = 0.

b) d₃: 12x - 6y + 10 = 0 và d₄ : 2x - y + 5 = 0.

c) d₅: 8x + 10y - 12 = 0 và d₆ : 4x + 5y - 6 = 0.

Lời giải:

a) Xét hai đường thẳng d₁: 4x - 10y + 1 = 0 và d₂ : x + y + 2 = 0 có: 

d₁  và d₂ cắt nhau.

b) Xét hai đường thẳng d₃: 12x - 6y + 10 = 0 và d₄ : 2x - y + 5 = 0 có: 

= 6 # = 2 d₃//d₄

c) Xét  hai đường thẳng d₅: 8x + 10y - 12 = 0 và d₆ : 4x + 5y - 6 = 0 có:

= 2 d₅d₆

Bài 2: Cho hai đường thẳng: d₁: x - 2y + 5 = 0 và d₂ : 3x - y = 0. Tìm tọa độ giao điểm của d₁ và d₂. 

Lời giải:

Xét tỉ số: d₁ d₂ . Gọi tọa độ giao điểm của d₁ và d₂ là M(x; y) với x và y là nghiệm của hệ phương trình:

Vậy d₁ d₂  tại M (1; 3).

Dạng 3: Tính góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về góc giữa hai đường thẳng: 

- Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có vectơ pháp tuyến và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0  có vectơ pháp tuyến với a₁² + b₁² # 0, a₂² + b₂² #0, góc giữa hai đường thẳng được kí hiệu là (d₁,d₂), (d₁,d₂) luôn nhỏ hơn hoặc bằng Đặt = (d₁,d₂) ta có:

cos = |cos| =

- Chú ý: 

d₁d₂  a₁a₂ +  b₁b₂ = 0

d₁d₂  x₁x₂ + y₁y₂ = 0 với = (x₁;y₁) là vectơ chỉ phương của d₁, = (x₂;y₂)là vectơ chỉ phương của d₂.

Nếu d₁ và d₂ có phương trình đường thẳng là y =  k₁x + m₁ và y = k₂x + m₂ thì d₁d₂ k₁k₂ = -1

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho hai đường thẳng d: và d’: . Xác định số đo góc giữa d và d’.

Lời giải:

Xét d: ta có vectơ chỉ phương của d là =  (-2; -1)

Vectơ pháp tuyến của d là  = (1; -2).

Xét d’: ta có vectơ chỉ phương của d’ là = (1; 3)

 Vectơ pháp tuyến của d’ là = (-3; 1).

Ta có: 

cos(d;d') = |cos()| = 

Góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng  (d;d') = .

Bài 2: Cho hai đường thẳng d: 4x – 2y + 6 = 0 và d’: x + 2y + 1 = 0. Xác định số đo góc giữa d và d’. 

Lời giải:

Xét d: 4x – 2y + 6 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d là   = (4; -2)

Xét d’: x + 2y + 1 = 0 ta có vectơ pháp tuyến của d’ là   = (1; 2)

Ta có: = 4.1 + (-2).2 = 0

 d  d'

 (d;d') = 

Dạng 4: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. 

Phương pháp giải:

Áp dụng lí thuyết về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M(x₀;y₀) . Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng được kí hiệu là d (M,  ), tính bằng công thức:

 d (M, ) = 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) . Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng  : 5x + 12y -10 = 0.

Lời giải:

Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng : 5x + 12y – 10 = 0 nên ta có bán kính của đường tròn bằng khoảng từ tâm C đến đường thẳng  . Ta có:

R = d(C, ) = 

Bài 2: Cho điểm A (3; 6). Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d: 

Lời giải:

Xét đường thẳng d:  ta có vectơ chỉ phương của d là   = (-3; 2)

vectơ pháp tuyến của d là   = (2; 3)

Chọn điểm M (4; 7) thuộc d ta có phương trình tổng quát của d là:

2.(x – 4) + 3.(y – 7) = 0

 2x – 8 + 3y – 21 = 0

 2x + 3y – 29 = 0

Khoảng cách từ A (3; 6) đến đường thẳng d là: 

d(A;d) = 

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d biết d đi qua 2 điểm A (3; 5) và B (4; 6). 

Đáp án: d: - x + y = 2

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng d’ biết d’ đi qua 2 điểm A (2; 7) và B (0; 5). 

Đáp án: d’: 

Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua hai điểm M (1; 6) và N (2; 3) 

Đáp án: d: 

Bài 4: Viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng d biết d song song với đường thẳng d’: 4x – 3y + 2 = 0 và d đi qua điểm (2; 3)

Đáp án: d: 4x - 3y + 1 = 0

Bài 5: Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d: 3x – 5y + 2 = 0 và đường thẳng   d’: 3x – 5y = 0.

Đáp án: d // d’

Bài 6: Cho đường thẳng d: 2x – 6y + 3 = 0 và đường thẳng d’: x – m + 7 = 0. Tìm m để d // d’. 

Đáp án: m = 3

Bài 7: Cho hai đường thẳng d: 6x – y = 0 và d’: 2x + 8y – 1 = 0. Tìm tọa độ giao điểm I của d và d’. 

Đáp số: I

Bài 8: Cho hai đường thẳng d: 8x – 3y + 2 = 0 và d’: x = 4. Tìm số đo góc giữa d và d’. 

Đáp án: (d;d') = 

Bài 9: Cho điểm A (4; 7) và đường thẳng d’: x – 6 = 0. Tìm khoảng cách từ A đến đường thẳng d.

Đáp án: d (A, d’) = 2

Bài 10: Cho đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách giữa A (2; m) và  đường thẳng d là 5.

Đáp số: 

Bài tập bổ sung

Bài 1. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1\right)$.

Phương trình chính tắc:

$\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{1}$ hay x - 1 = y - 2.

Bài 2. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm A(1; 2) và B(2; 3).

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình tổng quát của đường thẳng là: y = ax + b.

Ta có $\left\{\begin{array}{c}2=a+b\\ 3=2a+b\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{c}a=1\\ b=1\end{array}\right.$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = x + 1.

Bài 3. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng này đi qua 2 điểm A(–3, 2), B(5, –4).

Hướng dẫn giải

Ta có $\left\{\begin{array}{c}2=-3a+b\\ -4=5a+b\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{c}a=\frac{-3}{4}\\ b=-\frac{1}{4}\end{array}\right.$.

Phương trình tổng quát của đường thẳng là $y=-\frac{3}{4}x-\frac{1}{4}$.

Bài 4. Viết phương trình đường thẳng y = ax + b biết đường thẳng này đi qua A (3; 1) và song song với đường thẳng y = –2x + m – 1.

Hướng dẫn giải

Do đường thẳng y = ax + b song song với đường thẳng y = –2x + m – 1 nên a = ­–2.

Phương trình đường thẳng trở thành y = –2x + b

đường thẳng này đi qua A (3; 1) nên 1 = (–2).3 + b hay b = 7.

x³ - x = 0 $\iff [\begin{array}{c}x=0\\ x=1\end{array}$

Phương trình tổng quát của đường thẳng là y = –2x + 7.

Bài 5. Cho đường thẳng AB với A(–2; 3) và B(4; –1). Hãy tìm phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;-4\right)$

Phương trình tham số:

$\frac{x-\left(-2\right)}{6}=\frac{y-3}{-4}$ hay $\frac{x+2}{6}=\frac{3-y}{4}$

Bài 6. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng ∆ đi qua M(2; 3) và nhận vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Bài 7. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3; 5) và N(2; 1). Viết phương trình tổng quát của đường thẳng d. 

Bài 8. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3; 5) và N(2; 1). Viết phương trình tham số của đường thẳng d.

Bài 9. Cho đường thẳng d đi qua điểm M(3; 4) nhận vectơ $\overrightarrow{u}\left(1;3\right)$ làm vectơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng chính tắc?

Bài 10. Cho parabol (P): y = –x². Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Phương trình đường tròn và cách giải bài tập
• Phương trình đường elip và cách giải bài tập
• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc nhất và cách giải
• Các dạng bài tập về hàm số bậc hai và cách giải

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---