Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai.

Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

– Tam thức bậc hai (đối với x) là biểu thức có dạng ax² + bx + c, trong đó a, b, c là những số thực cho trước (với a ≠ 0), được gọi là các hệ số của tam thức bậc hai.

– Định lí về dấu của tam thức bậc hai:

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0).

Δ = b² – 4ac.

⦁ Nếu Δ < 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ .

⦁ Nếu Δ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi $x\ne -\frac{\text{b}}{\text{2a}}.$

⦁ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (x₁ < x₂).

  Khi đó, f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ (–∞; x₁) ∪ (x₂; +∞);

                   f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x ∈ (x₁; x₂).

* Chú ý: Ta có thể dùng Δ’ = b’² – 4ac với $b^{\text{'}}=\frac{b}{2}$ thay cho Δ khi hệ số b là số chẵn.

– Phương pháp xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai:

+ Nếu biểu thức f(x) là tam thức bậc hai thì ta sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức đó.

   Bước 1. Tính và xác định dấu của biệt thức ∆;

   Bước 2. Xác định nghiệm của f(x) (nếu có);

   Bước 3. Xác định dấu của hệ số a;

   Bước 4. Xác định dấu của f(x) theo định lí về dấu của tam thức bậc hai.

+ Nếu biểu thức f(x) là tích, thương các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai thì ta thực hiện theo các bước sau:

   Bước 1. Tìm nghiệm của f(x) = 0 và những giá trị f(x) không xác định.

   Bước 2. Lập bảng xét dấu của f(x).

   Bước 3. Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xét dấu của mỗi tam thức sau:

a) f(x) = x² – 5x + 11;

b) f(x) = x² – 4x + 4;

c) f(x) = –3x² – 2x + 5.

Hướng dẫn giải:

a) f(x) = x² – 5x + 11 có hệ số: a = 1; b = –5; c = 11.

Do đó Δ = b² – 4ac = (–5)² – 4.1.11 = –19 < 0.

Mà hệ số a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) f(x) = x² – 4x + 4 có hệ số: a = 1; b = –4; c = 4.

Do đó Δ = b² – 4ac = (–4)² – 4.1.4 = 0.

Ta có f(x) có nghiệm kép x = 2 và hệ số a = 1 > 0.

Vậy f(x) > 0 với mọi x ≠ 2 và f(x) = 0 với x = 2.

c) f(x) = –3x² – 2x + 5 có hệ số: a = –3; b = –2; c = 5.

Do đó Δ = b² – 4ac = (–2)² – 4.(–3).4 = 52 > 0

f(x) có hai nghiệm $x_1=-\frac{5}{3};$ x₂ = 1 và hệ số a = –3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ $\left(-\frac{5}{3};1\right);$

       f(x) < 0 khi x ∈ $\left(-\infty ;-\frac{5}{3}\right)\cup \left(1;+\infty \right).$

        f(x) = 0 khi $x\in \left\{-\frac{5}{3};1\right\}.$ 

Ví dụ 2. Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x) = x³ + 3x² – 6x – 8;                 

b) f(x) = (3x – 5)(x² – 4)( –2x² + x + 3);

c) $f\left(x\right)=x–\frac{x^2–x+6}{–x^2+3x+4}.$

Hướng dẫn giải:

a) Ta có: f(x) = x³ + 3x² – 6x – 8 = (x – 2)(x² + 5x + 4)

f(x) = 0 ⇔ (x – 2)(x² + 5x + 4) = 0

⦁ x – 2 = 0 ⇔ x = 2.

⦁ x² + 5x + 4 = 0 ⇔ x = –4 hoặc x = –1.

Lập bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi x ∈ (–4; –1) ∪ (2; +∞);

       f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –4) ∪ (–1; 2);

       f(x) = 0 khi x ∈ {–4; –1; 2}.

b) f(x) = (3x – 5)(x² – 4)( –2x² + x + 3)

Ta có:

3x – 5 = 0 ⇔ x = $\frac{5}{3};$

x² – 4 = 0 ⇔ x = –2 hoặc x = 2;

–2x² + x + 3 = 0 ⇔ x = –1 hoặc $x=\frac{3}{2}.$

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) > 0 khi $x\in \left(-\infty ;-2\right)\cup \left(-1;\frac{3}{2}\right)\cup \left(\frac{5}{3};2\right);$

        f(x) < 0 khi $x\in \left(-2;-1\right)\cup \left(\frac{3}{2};\frac{5}{3}\right)\cup \left(2;+\infty \right);$

        f(x) = 0 khi $x\in \left\{–2;–1;\frac{3}{2};\frac{5}{3};2\right\}.$

c) Ta có $f\left(x\right)=x–\frac{x^2–x+6}{–x^2+3x+4}=\frac{–x^3+2x^2+5x–6}{–x^2+3x+4}=\frac{\left(x–1\right)\left(–x^2+x+6\right)}{–x^2+3x+4}$

x – 1 = 0 ⇔ x = 1

–x² + x + 6 = 0 ⇔ x = –2 hoặc x = 3.

–x² + 3x + 4 = 0 ⇔ x = –1 hoặc x = 4.

Bảng xét dấu:

Vậy f(x) < 0 khi x ∈ (–∞; –2) ∪ (–1; 1) ∪ (3; 4);

        f(x) > 0 khi x ∈ (–2; –1) ∪ (1; 3) ∪ (4; +∞);

        f(x) = 0 khi x ∈ {–2; 1; 3}.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Cho f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b² – 4ac. Dấu của Δ khi f(x) luôn cùng dấu với hệ số a với mọi x ∈ ℝ là

A. Δ < 0;

B. Δ = 0;

C. Δ > 0;

D. Δ ≥ 0.

Bài 2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Nếu Δ > 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;

B. Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn trái dấu với hệ số a, với mọi x ∈ ℝ;

C. Nếu Δ = 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a, với mọi $x\in ℝ\backslash \left\{-\frac{b}{2a}\right\};$

D. Nếu Δ < 0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số b, với mọi x ∈ ℝ.

Bài 3. Cho tam thức f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) và Δ = b² – 4ac. Ta có f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ  khi và chỉ khi

A. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}a\le 0\\ \Delta <0\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta \ge 0\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \Delta \le 0\end{array}\right.$.

Bài 4. Cho tam thức  f(x) = x² – 8x + 16. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm;

B. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ ;

C. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

D. f(x) < 0 khi x < 4.

Bài 5. Cho f(x) = ax² + bx + c (a ≠ 0) có đồ thị đi qua ba điểm (0; 1); (1; –2); (3; 0). Kết luận nào sau đây đúng?

A. f(x) âm trong khoảng $\left(\frac{1}{4};3\right)$;

B. f(x) âm trong khoảng $\left(-\infty ;\frac{1}{4}\right)$;               

C. f(x) âm trong khoảng (3; +∞);                 

D. f(x) dương trong khoảng $\left(\frac{1}{4};3\right)$.

Bài 6. Cho tam thức bậc hai f(x) = –2x² + 8x – 8. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. f(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ;

B. f(x) ≥ 0 với mọi x ∈ ℝ;

C. f(x) ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ;

D. f(x) > 0 với mọi x ∈ ℝ.

Bài 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì tam thức bậc hai f(x) = x² – 6x + 8 không dương?

A. (–∞; 2) ∪ (4; +∞);

B. (–∞; 2] ∪ [4; +∞);

C. [2; 4];

D. (2; 4).

Bài 8. Cho hàm số y = f(x) = ax² + bx + c có đồ thị như hình vẽ.

Đặt ∆ = b² – 4ac. Chọn khẳng định đúng:

A. a > 0, Δ > 0;

B. a < 0, Δ < 0;

C. a > 0, Δ = 0;

D. a < 0, Δ = 0.

Bài 9. Tam thức nào sau đây luôn dương với mọi giá trị của x?

A. f(x) = x² – 10x + 2;              

B. f(x) = x² – 2x + 1;                

C. f(x) = x² – 2x + 10;              

D. f(x) = –x² + 2x + 10.

Bài 10. Số giá trị nguyên của x để tam thức f(x) = 2x² – 7x – 9 nhận giá trị âm là

A. 3;

B. 4;

C. 5;

D. 6.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Giải bất phương trình bậc hai

• Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế

• Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---