Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác.

Chứng minh các bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để chứng minh bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác, ta thực hiện:

+ chứng minh độ dài cạnh bất kì luôn nhỏ hơn tổng độ dài hai cạnh còn lại;

+ chứng minh độ dài cạnh bất kì luôn lớn hơn hiệu độ dài hai cạnh còn lại.

Chú ý: Trong một số bài toán, ta cần kết hợp bất đẳng thức tam giác với định lí về quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác để chứng minh được bất đẳng thức về độ dài cạnh của tam giác.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm. Đặt AC = a (cm). Chứng minh rằng 1 < a < 5.

Hướng dẫn giải:

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

BC – AB < AC < BC + AB

Hay 3 – 2 < a < 3 + 2, tức là 1 < a < 5.

Vậy 1 < a < 5.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC). Chứng minh rằng:

AB + AC – BC < 2AH.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆AHB có AB – AH < BH (bất đẳng thức tam giác) (1)

Xét ∆AHC có AC – AH < HC (bất đẳng thức tam giác) (2)

Cộng vế theo vế của (1) với (2) ta được AB – AH + AC – AH < BH + HC

Suy ra AB + AC – 2AH > BH + HC

Mà HB + HC = BC (do H ∈ BC)

Do đó AB + AC – 2AH < BC hay AB + AC – BC < 2AH.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác HKQ có QH < QK < HK. Bất đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. QH – QK = HK < QH + QK;

B. QK < HK + QH;

C. HK – QH > QK < HK + QH;

D. HK – QH > QK.

Bài 2. Chọn đáp án đúng. Trong một tam giác

A. Độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi;

B. Độ dài một cạnh luôn lớn hơn nửa chu vi;

C. Độ dài một cạnh luôn lớn hơn tổng hai cạnh còn lại;

D. Độ dài một cạnh luôn bằng chu vi.

Bài 3. Cho tam giác DEF có DE < EF < DF. Bất đẳng thức nào dưới đây là sai?

A. DE + EF > DF;

B. EF – DE < DF

C. DF – DE < EF < DF + DE;

D. DF – EF > DE.

Bài 4. Cho tam giác MNP có MP > MN > NP. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. MP – MN > NP;

B. MP – NP < MN < MP + NP;

C. MN – NP > MP > MN + NP;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 5. Cho ∆ABC có M là trung điểm của BC. Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. AB + AC > 2AM;

B. AB + AC ≤ 2AM;

C. AB + AC = 2AM;

D. AB + AC < 2AM.

Bài 6. Cho tam giác ABC có đường cao AH (H ∈ BC). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. 2AH + BC = AB + AC;

B. 2AH + BC < AB + AC;

C. 2AH + BC > AB + AC;

D. 2AH + BC ≥ AB + AC.

Bài 7. Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia OC lấy điểm A (A khác O). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. AB = AC;

B. AB < AC;

C. AB > AC;

D. AB ≤ AC.

Bài 8. Cho tam giác OBC cân ở O. Trên tia đối của tia CO lấy điểm A (A khác O). Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. AB ≥ AC;

B. AB = AC;

C. AB < AC;

D. AB > AC.

Bài 9. Cho hình vẽ dưới đây.

Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. MA + MB > AC + BC;

B. MA + MB = AC + BC;

C. MA + MB < AC + BC;

D. MA + MB ≤ AC + BC.

Bài 10. Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Trên đường phân giác AD lấy điểm E (E thuộc cạnh AD). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. EC – EB > AC – AB;

B. EC – EB < AC – AB;

C. EC – EB = AC – AB;

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Khẳng định có tồn tại hay không một tam giác biết độ dài ba cạnh

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---