Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác lớp 7 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác.

Sử dụng trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông để chứng minh tính chất khác (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bước 1: Chọn hai tam giác vuông có cạnh (góc) là hai đoạn thẳng (góc) cần chứng minh bằng nhau.

Bước 2: Chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau theo một trong các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông: hai cạnh góc vuông; cạnh góc vuông – góc nhọn kề; cạnh huyền – góc nhọn, cạnh huyền – cạnh góc vuông.

Bước 3: Suy ra hai cạnh (góc) tương ứng bằng nhau và kết luận.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Cho ∆ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy (B, C nằm cùng phía đối với xy). Kẻ BD ⊥ xy tại D, kẻ CE ⊥ xy tại E. Chứng minh rằng:

a) ∆BAD = ∆ACE;

b) DE = BD + CE.

Hướng dẫn giải:

Tam giác ABD vuông tại D: $\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{ABD}}=90°$ (1).

Tam giác ABC vuông tại A. Ta suy ra $\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$.

Ta có: $\widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{BAC}}+\widehat{\mathrm{CAE}}=180°$.

$\iff \widehat{\mathrm{DAB}}+90°+\widehat{\mathrm{CAE}}=180°$

$\iff \widehat{\mathrm{DAB}}+\widehat{\mathrm{CAE}}=180°-90°=90°$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{CAE}}$.

Xét ∆BAD và ∆ACE, có:

$\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{AEC}}=90°$

AB = AC (giả thiết).

$\widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{CAE}}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BAD = ∆ACE (cạnh huyền – góc nhọn).

b) Ta có: ∆BAD = ∆ACE (chứng minh trên)

Ta suy ra AD = CE và BD = AE (các cặp cạnh tương ứng bằng nhau).

Do đó AD + AE = CE + BD.

Suy ra DE = CE + BD (vì A nằm giữa D và E).

Vậy DE = BD + CE.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH ⊥ BC tại H. Trên tia đối của tia HA, lấy điểm D sao cho HD = HA.

a) Chứng minh rằng ∆AHB = ∆DHB;

b) Chứng minh rằng BD ⊥ CD.

c) Cho $\widehat{\mathrm{ABC}}=60°$. Tính số đo $\widehat{\mathrm{ACD}}$.

Hướng dẫn giải:

a) Xét ∆AHB và ∆DHB, có:

$\widehat{\mathrm{AHB}}=\widehat{\mathrm{DHB}}=90°$

HB là cạnh chung.

HA = HD (giả thiết).

Do đó ∆AHB = ∆DHB (hai cạnh góc vuông).

b) Ta có ∆AHB = ∆DHB (chứng minh trên).

Do đó AB = DB và $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{DBH}}$ (các cặp cạnh, cặp góc tương ứng bằng nhau).

Xét ∆ABC và ∆DBC, có:

AB = DB (chứng minh trên).

BC là cạnh chung.

$\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{DBC}}$(chứng minh trên).

Do đó ∆ABC = ∆DBC (cạnh – góc – cạnh).

Ta suy ra $\widehat{\mathrm{BDC}}=\widehat{\mathrm{BAC}}=90°$ (hai góc tương ứng)

Vậy BD ⊥ CD.

c) ∆ABC vuông tại A: $\widehat{\mathrm{ABC}}+\widehat{\mathrm{ACB}}=90°$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau)

Suy ra $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{BCD}}$.

Ta có ∆ABC = ∆DBC (chứng minh trên).

Ta suy ra $\widehat{\mathrm{ACB}}=\widehat{\mathrm{BCD}}$ (cặp góc tương ứng bằng nhau).

Do đó $\widehat{\mathrm{BCD}}=\widehat{\mathrm{ACB}}=30°$

Ta có $\widehat{\mathrm{ACD}}=\widehat{\mathrm{ACB}}+\widehat{\mathrm{BCD}}=30°+30°=60°$

Vậy $\widehat{\mathrm{ACD}}=60°$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại A và ∆MNP vuông tại M có AB = MN, CB = PN. Biết AC = 5 cm. Tính độ dài MP.

A. 4 cm;

B. 5 cm;

C. 6 cm;

D. 7 cm.

Bài 2. Cho ∆ABC có AB = AC, đường cao AH. Kết luận nào sau đây sai?

A. ∆AHB = ∆AHC theo trường hợp cạnh huyền – góc nhọn;

B. AH là phân giác $\widehat{\mathrm{BAC}}$;

C. BH = CH;

D. $\widehat{\mathrm{ABH}}=\widehat{\mathrm{ACH}}$.

Bài 4. Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh BC, lấy điểm D sao cho BD = BA = 5 cm. Đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt AC tại H. Gọi E là giao điểm của DH và AB. Biết CD = 3 cm. Độ dài cạnh BE bằng

A. 3 cm;

B. 5 cm;

C. 8 cm;

D. 10 cm.

Bài 5. Tìm x trong hình bên.

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Bài 6. Cho ∆ABC nhọn và ∆ABC = ∆DEF. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC) và DK ⊥ EF (K ∈ EF). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. AH = DK;

B. BH = EK;

C. $\widehat{\mathrm{BAH}}=\widehat{\mathrm{EDK}}$;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 7. Cho ∆ABC vuông tại A, tia phân giác $\hat{B}$ cắt AC tại D. Kẻ DE ⊥ BC tại E. Gọi H là giao điểm của BD và AE. Đường thẳng BH vuông góc với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

A. AD;

B. AE;

C. AB;

D. Không có đường thẳng nào vuông góc với BH.

Bài 8. Cho hình vẽ:

Kết luận nào sau đây sai?

A. E là trung điểm MN;

B. E là trung điểm AB;

C. $\widehat{\mathrm{ANE}}=\widehat{\mathrm{BME}}$;

D. AE = ME.

Bài 9. Cho ∆ABC có M là trung điểm BC. Kẻ BE và CF lần lượt cùng vuông góc với AM ở E và F. Khi đó ta có BF song song với đường thẳng nào trong các đường thẳng sau đây.

A. CE;

B. MC;

C. AC;

D. AE.

Bài 10. Cho ∆ABC vuông tại A có AB < AC, $\hat{B}=60°$. Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC). Gọi D là điểm trên cạnh AC sao cho AD = AB. Kẻ DE ⊥ BC (E ∈ BC) và DK ⊥ AH (K ∈ AH). Cho các khẳng định sau:

(I) BH = AK;

(II) HA = KD = HE.

Chọn phương án đúng:

A. Chỉ (I) đúng;

B. Chỉ (II) đúng;

C. Cả (I), (II) đều đúng;

D. Cả (I), (II) đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 7 hay, chi tiết khác:

• Tìm và chứng minh hai tam giác vuông bằng nhau

Lời giải bài tập lớp 7 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 7 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 7 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 7 Cánh diều

---