Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật

Với Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật

A. Phương pháp giải

Cách 1:

1. Vẽ thêm hình chữ nhật bằng cách kẻ đường vuông góc hoặc vẽ thêm hình bình hành có một góc vuông. 

2. Áp dụng:

• Tính chất về cạnh hoặc đường chéo của hình chữ nhật, định lí Py-ta-go. 
• Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền.

Cách 2:

• Xác định tam giác vuông để vẽ thêm trung tuyến ứng với cạnh huyền.
• Áp dụng tính chất về trung tuyến ứng với cạnh huyền hoặc dấu hiệu nhận biết tam giác vuông.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ BH vuông góc với AC. Gọi M, K lần lượt là trung điểm của AD và HC. Chứng minh rằng BK vuông góc với KM.

Giải

 

Trong tam giác AKB kẻ đường cao KI cắt BH tại E thì E là trực tâm của tam giác AKB.

Suy ra  

Ta có KI//AD và KI//BC (vì )

⇒  KE là đường trung bình của tam giác HBC

 

⇒  KE//MA và KE = MA

Do đó tứ giác MAEK là hình bình hành.

Từ đó suy ra AE//MK mà  .

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông ABCD có và DC = 2AB. Kẻ gọi I là trung điểm của EC. Chứng minh rằng .

Giải

Vẽ thì tứ giác ABHD có ba góc vuông là  nên nó là hình chữ nhật.

Áp dụng tính chất về cạnh và giả thiết vào hình chữ nhật ABHD, ta được:

 

Lại có EI = IC.        (2)

Từ (1) và (2) suy ra HI là đường trung bình của tam giác DCE.

Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác DCE thu được HI//DE, do theo giả thiết nên  hay tam giác AIH vuông tại I.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình chữ nhật ABHD, gọi O là giao hai đường chéo ta được AO = OH, BO = OD nên IO là trung tuyến của tam giác vuông AIH.

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông AHI và tính chất về cạnh vào hình chữ nhật ABHD ta được:

Điều này chứng tỏ trong tam giác BID trung tuyến IO ứng với cạnh BD bằng nửa cạnh ấy nên nó vuông tại I. Vậy .

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC (). Về phía ngoài của tam giác ABC dựng các hình vuông ABDE, ACFG. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng DF. Chọn câu đúng?

A. Tam giác MBC vuông cân tại M.

B. Tam giác MBC cân tại B.

C. Tam giác MBC cân tại C.

D. Tam giác MBC đều.

Giải

Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A dựng tam giác BHC vuông cân đỉnh B.

Xét tam giác BHD và tam giác BCA có:

DB = BA (vì ABDE là hình vuông)

  (vì cùng phụ với góc HBA)

BH = BC (vì tam giác BHC vuông cân đỉnh B)

Do đó: (c-g-c), suy ra DH = AC,

AC cắt HD tại K, cắt BH tại I.

Xét tam giác IHK và tam giác ICB có: (đối đỉnh),  (cmt)

do đó suy ra

Mặt khác  , do đó DH//CF.

Ta có DH = CF (= AC) và DH//CF nên DHFC là hình bình hành.

Mà M là trung điểm của DF nên M là trung điểm của HC, suy ra BM là đường trung tuyến của tam giác HBC cân tại H nên BM là đườn cao của tam giác HBC nên BM = MC và .

Vậy tam giác MBC vuông cân tại đỉnh M.

Đáp án: A.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi K và M lần lượt là trung điểm của BH và CD. Chứng minh AK ⊥ MK.

Lời giải:

Gọi N là trung điểm của AB => NK ⊥ BD.

Nhận xét: Hai tam giác ADN và DNK là 2 ∆ vuông, có cạnh huyền ND.

Do đó A, N, D, K thuộc đường tròn (C) đường kính ND.

Dễ thấy A, D, M, N thuộc đường tròn (C) (Do ADMN là hình chữ nhật).

AM là một đường kính của (C), K ∈ (C) => AK ⊥ KM.

Bài 2. Cho tam giác ABC cân tại B, đường cao BH. Dựng hình chữ nhật BHCK, HI ⊥ BC. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của IC và BK. Chứng minh rằng IA ⊥ MN.

Lời giải:

Gọi E là hình chiếu của M trên BN.

F = ME ∩ HI nên F là trực tâm của tam giác BHM.

Suy ra BF ⊥ MH. (1)

Vì M là trung điểm IC, H là trung điểm AC (∆ABC cân) nên MH // IA. (2)

Xét tam giác IHC:

+ M là trung điểm IC

+ MF // HC (cùng vuông góc BH)

Suy ra F là trung điểm của IH và MF là đường trung bình của tam giác IHC.

Do đó MF // BN // HC và MF = BN = $\frac{1}{2}$HC.

Do đó tứ giác BFMN là hình bình hành.

Suy ra BF // MN. (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A trên BD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của AB, CH, AH. Chứng minh GB ⊥ EF.

Lời giải:

Gọi K là trung điểm của DH nên GK // AD hay GK ⊥ AB.

Suy ra G là trực tâm của ∆ABK nên GB ⊥ AK. (1)

∆DGH có K, F lần lượt là trung điểm của DH, CH.

Suy ra KF // CD và KF = $\frac{1}{2}$CD.

Suy ra AEFK là hình bình hành nên EF // AK. (2)

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

Bài 4. Cho tam giác đều ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Dựng hình chữ nhật BCDE thỏa mãn A nằm trên đoạn thẳng DE. I = GC ∩ BD, J = GB ∩ CE. Chứng minh rằng AG vuông góc IJ.

Lời giải:

∆ABC là tam giác đều, G là trọng tâm nên

$\widehat{GBC}=\widehat{GCB}=30°$

Do đó IB = JC = BC.tan30°

Do đó IBCJ là hình chữ nhật nên IJ // BC

Lại có AG ⊥ BC nên IJ ⊥ AG.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, trên đoạn AD, AB lấy các điểm E, F. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của EF, FD, DB, BE. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Lời giải:

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = $\frac{1}{2}$BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD ⊥ BF nên MN ⊥ MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Bài 6. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < AD), vẽ AE ⊥ BD. F nằm trên đường thẳng AE thỏa mãn E là trung điểm của AF, G là hình chiếu của F trên AD, H là hình chiếu của F trên AB. Lấy J thuộc CD sao cho BH = DJ. Chứng minh rằng IF vuông góc FJ.

Bài 7. Cho DABC (các góc là các góc nhọn). Hình chữ nhật EFGH thay đổi thỏa mãn E thuộc cạnh AB, F thuộc cạnh AC và G, H thuộc cạnh BC. Gọi giao điểm của BF với CE là M, của EG với FH là N. Gọi K là giao điểm của MN với BC. Chứng minh rằng đường thẳng AK vuông góc với BC.

Bài 8. Cho tam giác đều ABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác. Dựng hình chữ nhật ABDE thỏa mãn C nằm trên đoạn thẳng DE. Tia AG cắt BD tại I. Chứng minh rằng BC vuông góc IG.

Bài 9. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E là hình chiếu của B trên CA. M và N lần lượt là trung điểm của AD, EC. Chứng minh rằng BN vuông góc MN.

Bài 10. Cho hình chữ nhật ABCD. Lần lượt lấy E và F nằm trên tia đối của CB và DA, thỏa mãn điều kiện: EC = FD = DC. Lấy H trên tia đối của tia CD thỏa mãn điều kiện HC = BC. Chứng minh rằng AE ⊥ FH.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật
• Chứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước
• Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau
• Cách chứng minh tứ giác là hình thoi (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---