Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật

Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật

A. Phương pháp giải

Cách 1:

1. Vẽ thêm hình chữ nhật bằng cách kẻ đường vuông góc hoặc vẽ thêm hình bình hành có một góc vuông. 

2. Áp dụng:

• Tính chất và cạnh hoặc đường chéo của hình chữ nhật, định lí Py-ta-go. 
• Định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của một tam giác vuông thì bằng một nửa cạnh huyền.

Cách 2:

• Xác định tam giác vuông để vẽ thêm trung tuyến ứng với cạnh huyền.
• Áp dụng tính chất về trung tuyến ứng với cạnh huyền hoặc dấu hiệu nhận biết tam giác vuông.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính x trên hình.

Giải

 

Kẻ thì tứ giác ABHD có ba góc vuông là  nên nó là hình chữ nhật.

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật ABHD, thu được:

DH = AB = 10, BH = AD = x.

Do đó CH = CD – DH = 15 – 10 = 5. 

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác BHC vuông tại H thu được:

 

Vậy x = 12.

Ví dụ 2. Cho hình thang vuông ABCD có và DC = BC = 2AB. Tính  .

Giải

Vẽ  (1) thì tứ giác ABHD có  nên nó là hình chữ nhật. Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật ABHD, ta được: DH = AB.    (2)

Mà DC = 2AB (theo giả thiết).      (3)

Từ (2) và (3) suy ra DC = 2HC nên DH = HC.             (4)

Từ (1) và (4) ta có BH là đường trung trực của DC, do đó BC = BD.           (5)

Lại có DC = BC (theo giả thiết). (6)

Từ (5) và (6) suy ra BC = CD = BD nên ΔBCD  là tam giác đều, do đó  .

Vì là hai góc trong cùng phía của AB//CD nên chúng bù nhau hay , suy ra:  .

Ví dụ 3. Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 6cm, 8cm là:

Giải

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có: 

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 10 : 2 = 5 (cm)

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu sai. Cho ABCD là hình chữ nhật có O là giao điểm hai đường chéo. Khi đó:

A. AC = BD.

B. AB = CD; AD = BC.

C. AO = OB.

D. OC > OD.

Lời giải:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB = DC, AD = BC, AC = BD và AC, BD cắt nhau tại

trung điểm O của mỗi đường. Hay OA = OB = OC = OD nên A, B, C đúng, D sai.

Đáp án: D.

Câu 2. Độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 5cm, 12cm là:

A. 6,5cm.

B. 6cm.

C. 13 cm.

D. 10 cm.

Lời giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có: 

 

Do AH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên AH = BC : 2 = 13 : 2 = 6,5 cm.

Đáp án: A.

Câu 3. Cho tam giác ABC vuông cân tại A, AC = 6cm , điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là các chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Chu vi của tứ giác ADME bằng:

A. 6cm. 

B. 36cm.

C. 18cm.

D. 12cm.

Lời giải:

Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật.

Xét tam giác DMB có  (do tam giác ABC vuông cân) nên tam giác BDM vuông cân tại D. Do đó DM = BD.

Do ADME là hình chữ nhật nên chu vi ADME là: 

(AD + DM).2 = (AD + BD).2 = 2AB = 2AC = 2.6 = 12 cm

Vậy chu vi ADME là 12 cm.

Đáp án: D.

Câu 4. Cho ΔABC cân tại A, đường cao BH. Từ điểm M trên cạnh BC kẻ  .Tính MP + MQ theo BH

A. MP + MQ = BH

B.. MP + MQ = 2BH

C. MP + MQ = 1/2 BH

D. MP + MQ = 3BH

Lời giải:

Kẻ  thì

MK//AC .

Tứ giác MKHQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Xét tam giác BMP và MBK có: 

BM chung; 

(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn) suy ra MP = BK.           (1)

Lại có MQ = KH (2) theo tính chất về cạnh của hình chữ nhật.

Cộng theo vế đẳng thức (1) và (2), ta được MP + MQ = BK + KH = BH.

Đáp án: A.

Câu 5. Cho tam giác ABC có góc B nhọn và  . Kẻ đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BH, gọi I là giao điểm của DH và AC. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AI = IC.                        

B. AD = HC.           

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Đặt  .

Từ giả thiết vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau. Vì  là góc ngoài của ΔBDH nên

Ta có  (đối đỉnh), suy ra  

Trong tam giác vuông AHC ta có 

Từ (1) và (2)

Do đó I là trung điểm của AC nên chọn AC là một đường chéo.

Vẽ thêm E sao cho I là trung điểm của HE thì tứ giác AHCE là hình chữ nhật, vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và có góc vuông. Áp dụng định nghĩa vào hình chữ nhật AHCE ta được HC//AE suy ra  (vì so le).

Lại có nên  , suy ra AD = AE.

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình chữ nhật AHCE và tính chất hai cạnh đối diện với hai góc bằng nhau ta được 

Đáp án: C.

Câu 6. Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM và phân giác AD. Khẳng định nào sau đây đúng?

Lời giải:

Áp dụng định lí trung tuyến ứng với cạnh huyền vào tam giác vuông ABC, ta được:

(vì trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau). 

Lại có do cùng phụ với góc B, suy ra (1) hay

Vì AD là phân giác của góc A theo giả thiết nên     (2)

Trừ theo vế đẳng thức (2) cho (1) ta được  .

Điều này chứng tỏ AD là tia phân giác của góc HAM. 

Đáp án: C.

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a > b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ. Tính độ dài đường chéo của hình chữ nhật MNPQ theo a, b.

Lời giải:

Gọi E là giao điểm PQ và AB, F là giao điểm của MN và CD. 

Ta có:

 

Tam giác ADE có phân giác AQ cũng là đường cao do đó tam giác cân tại A, suy ra 

DQ = QE = DE : 2. 

Tương tự tam giác BCF cân tại C, do đó FN = BN = BF : 2. 

Ta lại có DEBF là hình bình hành (cặp cạnh đối song song), suy ra DE = BF. 

Suy ra DQ = FN và DQ//FN. Vậy DQNF là hình bình hành, từ đó QN = DF = CD – CF Mà CD = AB = a, CF = CB = b, do đó: QN = a – b .

Đáp án: B.

Câu 8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a; AD = b. Cho M, N, P, Q là các đỉnh của tứ giác MNPQ và lần lượt thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA. Tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giác MNPQ.

Lời giải:

Gọi I, H, K lần lượt là trung điểm các đoạn QM, QN, PN.

Xét tam giác AQM vuông tại A có AI là đường trung tuyến nên suy ra 

IH là đường trung bình của tam giác QMN nên

Tương tự 

Do đó 

Mặt khác nếu xét các điểm A, I, H, K, C ta có: 

Do đó  (không đổi).

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, I, H, K, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Điều đó tương đương với MN//AC//QP, QM//BD//NP hay MNPQ là hình bình hành. 

Theo định lý Py-ta-go cho tam giác ABC vuông tại B ta có 

Vậy giá trị nhỏ nhất của chu vi MNPQ là  

Đáp án: C.

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tính độ dài nhỏ nhất của DE khi M di chuyển trên BC biết AB = 15cm, AC = 20cm.

A. 9cm.

B. 15cm.

C. 8cm.

D. 12cm.

Lời giải:

Xét tứ giác ADME có  nên ADME là hình chữ nhật nên

AM = DE (tính chất).

Để DE nhỏ nhất thì AM nhỏ nhất mà AM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Từ đó DE nhỏ nhất khi M là hình chiếu của A trên BC.

Khi đó DE = AM.

Xét tam giác ABC, theo định lý Py-ta-go ta có 

Gọi BM = x thì MC = 25 – x. 

Xét tam giác AMB vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:  

Xét tam giác AMC vuông tại M, theo định lý Py-ta-go ta có:   

Từ (1) và (2) suy ra:  

Suy ra:   

suy ra DE = AM = 12cm.

Vậy giá trị nhỏ nhất của DE là 12cm.

Đáp án: D.

Câu 10. Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB = 6, CD = 18, AD = 10. Gọi I, K, M, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AD và BD. Tính độ dài các cạnh AB, AL, AK.

Lời giải:

Xét tam giác ABD có M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML//AB và ML = AB : 2 = 3. Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.      (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK//AB và IK = AB : 2 = 3. Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.          (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có:  

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD) 

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6. 

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB (= 6);KL//AB. Do đó ABKL là hình bình hành. 

Lại có: 

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân).

Suy ra AK = BL.

Xét hình bình hành ABKL có AK = BL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.

Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác vuông AML vuông tại L ta có: 

Vậy AL = BK = 4. 

Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AKL ta có: . 

Đáp án: C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhật
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật
• Chứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước
• Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau
• Cách chứng minh tứ giác là hình thoi (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---