Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhật

Với Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhật môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhật

A. Phương pháp giải

Ba dấu hiệu về góc: 

• Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. 
• Hình thang cần có một góc vuông là hình chữ nhật. 
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật. 

Một dấu hiệu về đường chéo: 

• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ΔABC với M thuộc cạnh BC. Từ M vẽ ME song song với AB và MF song song với AC. Hãy xác định điều kiện của ΔABC để tứ giác AEMF là hình chữ nhật.

Giải

Từ giả thiết ta có ME//AF, MF//AE nên tứ giác AEMF là hình bình hành.

Để hình bình hành AEMF là hình chữ nhật thì nên tam giác ABC vuông tại A. 

Ví dụ 2. Cho tứ giác ABCD, lấy M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác ABCD cần có điều kiện gì để MNPQ là hình chữ nhật.

Giải

Nối AC, BD. 

Xét tam giác ABD có M, Q lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MQ là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra 

Tương tự, xét tam giác CBD có N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD nên NP là đường trung bình của tam giác CBD, suy ra 

Từ (1); (2) ⇒MQ//NP; MQ = NP, suy ra MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì

Lại có QP//AC (do QP là đường trung bình của tam giác DAC ) nên mà MQ//BD (cmt) nên .

Vậy tứ giác ABCD cần có  thì MNPQ là hình chữ nhật.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Để MNED là hình chữ nhật thì tam giác ABC cần có điều kiện gì?

Giải

Xét tam giác ABG có N, E lần lượt là trung điểm của BG, AB nên NE là đường trung bình của tam giác ABG, suy ra 

Tương tự, xét tam giác ACG có M, D lần lượt là trung điểm của CG, AC nên MD là đường trung bình của tam giác ACG, suy ra

Từ (1); (2) ⇒EN//DM; EN = DM, suy ra ENMD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để hình bình hành MNED là hình chữ nhật thì . Mà MN//BC (do MN là đường trung bình của tam giác BCG) nên .

Lại có EN//AI suy ra .

Xét tam giác ABC có AI vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên ΔABC cân tại A. 

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu trả lời đúng. Hình thang cân ABCD là hình chữ nhật khi:

Lời giải:

Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên hình thang cân ABCD có thêm thì nó sẽ là hình chữ nhật nên D đúng. 

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu sai.

A. Hình thang có một góc vuông là hình chữ nhật.

B. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

C. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

D. Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Lời giải:

• Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật nên D đúng.
• Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật nên B đúng.
• Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên C đúng.
• Hình thang có một góc vuông thì là hình thang vuông nên A sai. 

Đáp án: A.

Câu 3. Chọn câu sai. Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi:

Lời giải:

• Ta thấy AB = CD = AD = BC thì ABCD chỉ có bốn cạnh bằng nhau nên ABCD chưa chắc là hình chữ nhật.
• Nếu  thì tứ giác ABCD có ba góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật. (do dấu hiệu tứ giác có ba góc vuông)
• Nếu  và AB//CD thì tứ giác ABCD có AD//BC, AB//CD nên ABCD là hình bình hành, lại có  nên ABCD là hình chữ nhật. (do dấu hiệu hình bình hành có một góc vuông)
• Nếu AB//CD, AB = CD và AC = BD thì ABCD là hình bình hành (do có cặp cạnh đối ABCD song song và bằng nhau), lại có hai đường chéo bằng nhau AC = BD nên ABCD là hình chữ nhật (do dấu hiệu hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau).

Đáp án: C.

Câu 4. Chọn câu đúng Cho tứ giác ABCD có:

Lời giải:

Ta thấy: AD = BC, AD//BC, thì ABCD là hình bình hành có 1 góc vuông nên ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án: C.

Câu 5. Hãy chọn câu trả lời đúng. Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật khi:

Lời giải:

Vì hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật nên hình bình hành ABCD có AC = BD thì ABCD là hình chữ nhật.

Đáp án: B.

Câu 6. Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CA. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của AD, AF, EF, ED. ΔABC có điều kiện gì thì MNPQ là hình chữ nhật?

A. ΔABC cân tại A.

B. ΔABC cân tại B.

C. ΔABC cân tại C.

D. ΔABC vuông tại A.

Lời giải:

Xét có: AM = DM; DQ = EQ nên MQ là đường trung bình của ΔADE.

Xét có: AN = NF; FP = PE nên NP là đường trung bình của ΔAEF

Suy ra MQ//NP ( cùng song song với AE) và

Tứ giác MNPQ có: MQ//NP và MQ = NP nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Để MNPQ là hình chữ nhật thì       (1)

Ta có: NP//AE (chứng minh trên)  .                   (2)

Ta lại có: AM = MD, AN = NF (giả thiết) ⇒MN//DF.

Mặt khác: AD = DB, AF = FC (giả thiết) ⇒DF//BC.

Vậy MN//BC (3) 

Từ (1), (2), (3) suy ra: .

Mà BE = EC (giả thiết).

Do đó ΔABC cân tại A (do AE vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến).

Đáp án: A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật
• Chứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước
• Cách chia đoạn thẳng AB cho trước thành nhiều phần bằng nhau

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---