Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật (hay, chi tiết)

Với Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Nhận dạng hình chữ nhật theo ba cách sau: 

Cách 1: Chứng minh tứ giác có ba góc vuông. 

Cách 2: Chứng minh tứ giác là một hình thang cân có thêm một góc vuông.

Cách 3: Chứng minh tứ giác là hình bình hành có thêm một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A, B, C, D cắt nhau như trên hình vẽ. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Giải

 

Đặt  

Áp dụng tính chất góc trong cùng phía vào AB//CD, ta được:

 

Áp dụng tính chất về góc vào ΔADE , ta được:  , hay

  (đối đỉnh)

Chứng minh tương tự ta được  .

Tứ giác EFGH có bốn góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ví dụ 2. Tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao?

Giải

Tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Giải thích: Từ giả thiết ta có EF, GH thứ tự là đường trung bình của các tam giác ABC và ADC. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác này ta được:

Chứng minh tương tự, ta cũng được EH//FG//BD.        (2)

 Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

Gọi O là giao điểm của AC với BD và I là giao điểm của EF với BD

Áp dụng tính chất góc đồng vị vào các đường thẳng song song ở trên và giả thiết ta có:

Như vậy hình bình hành EFGH có một góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Ví dụ 3. Bài toán thực tế 

Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường AB thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn. Đội đã dựng các điểm C, D, E như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn đường EF vuông góc với DE. Vì sao AB và EF cùng nằm trên một đường thẳng?

Giải

Theo hình, tứ giác BCDE có BC = ED và BC//ED vì cùng vuông góc với CD. Tứ giác BCDE có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. Hình bình hành BCDE lại có góc C vuông nên là hình chữ nhật.

Do đó suy ra A, B, E thẳng hàng và B, E, F cũng thẳng hàng. Vậy AB, EF cùng nằm trên một đường thẳng. 

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định sau? 

a) Tứ giác có tất cả các góc bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 

c) Hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. 

d) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

A. 1.                       B. 2.                       C. 3.                       D. 4.                       

Lời giải:

Các câu đúng là a), d). Các câu sai là b), c).

Đáp án: B.

Câu 2. Hãy chọn câu sai. Hình chữ nhật có

A. Bốn góc vuông.

B. Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

C. Hai đường chéo vuông góc với nhau.

D. Các cạnh đối bằng nhau.

Lời giải:

Từ định nghĩa và tính chất hình chữ nhật ta có A, B, D đúng và C sai. 

Đáp án: C.

Câu 3. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm đối xứng với H qua I. Tứ giác AECH là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang vuông.

Lời giải:

Xét tứ giác AECH có: I là trung điểm của AC (gt); I là trung điểm của HE (do H và E đối xứng nhau qua I)

Do đó AECH là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Lại có  , nên AECH là hình chữ nhật.

Đáp án: A.

Câu 4. Cho hình bình hành ABCD có AB = a, BC = b (a > b). Các phân giác trong của các góc A, B, C, D tạo thành tứ giác MNPQ. Tứ giác MNPQ là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang vuông.

Lời giải:

Ta có  

(do ABCD là hình bình hành) 

Nên  (định lý tổng ba góc trong tam giác).

Nên . Suy ra  .

Tương tự:  .

Xét tứ giác MNPQ có  , do đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Đáp án: A.

Câu 6. Cho hình thang cân ABCD, đáy nhỏ AB = 6, CD = 18, AD = 10. Gọi I, K, M, L lần lượt là trung điểm của các đoạn BC, CA, AD và BD. Tứ giác ABKL là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang vuông.

Lời giải:

Xét tam giác ABD có: M, L lần lượt là trung điểm của AD, BD, do đó ML là đường trung bình của tam giác ABD. Suy ra ML//AB và  . Vậy ML nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.      (1)

Chứng minh tương tự ta có: IK là đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, IK//AB, . Vậy IK nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD. (2)

Từ (1) và (2) suy ra: bốn điểm M, L, K, I nằm trên đường trung bình MI của hình thang ABCD.

Ta có: 

(do MI là đường trung bình của hình thang ABCD).

Suy ra KL = MI – ML – KI = 12 – 3 – 3 = 6. 

Xét tứ giác ABKL có: KL = AB (= 6); KL//AB. Do đó ABKL là hình bình hành. 

Lại có: 

Mà AC = BD (đường chéo hình thang cân). Suy ra AK = BL.

Xét hình bình hành ABKL có hai đường chéo AK = BL nên suy ra ABKL là hình chữ nhật.

Đáp án: A.

Câu 7. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh huyền BC. Gọi D, E lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. Tứ giác ADME là hình gì?

A. Hình thang.

B. Hình chữ nhật.

C. Hình bình hành.

D. Hình vuông.

Lời giải:

Xét tứ giác ADME có nên ADME là hình chữ nhật. 

Đáp án: B.

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và  . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi I là điểm đối xứng với A qua B. Tứ giác BICD là hình gì?

A. Hình chữ nhật.

B. Hình thoi.

C. Hình vuông.

D. Hình bình hành.

Lời giải:

Do AB//CD (ABCD là hình bình hành) nên BI//CD.

Mặt khác BI = AB (I đối xứng với A qua B); AB = CD (ABCD là hình bình hành)

Suy ra BI = CD.

Vậy BICD là hình bình hành.       (1)

Vì BC = 2AB; F là trung điểm AD; AD = BC nên ta có BI = AB = AF = FD ⇒  AI = AD mà  (gt) nên tam giác ADI đều.

Xét tam giác ADI đều có BD là trung tuyến đồng thời là đường cao.

Từ (1) và (2) suy ra BICD là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Đáp án: A.

Câu 9. Cho   cân tại A, các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại O. Gọi M là điểm đối xứng với O qua D và N là điểm đối xứng với O qua E. Tứ giác BNMC là hình gì ? 

A. Hình chữ nhật.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang vuông.

Lời giải:

M đối xứng với O qua D nên OD = DM. 

O là trọng tâm của   nên BO = 2OD

 ⇒ BO = OM.

Chứng minh tương tự, có CO = ON.

Tứ giác BNMC có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Xét tam giác BDC và CEB có: 

BC chung; 

Hình bình hành BNMC có hai đường chéo bằng nhau nên là hình chữ nhật. 

Đáp án: A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì?

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (M Î AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Bài 3. Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với đường thẳng AB và AD tại h và K. Chứng minh tứ giác AHFK là hình chữ nhật.

Bài 4. Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H. Tứ giác AMBQ là hình gì?

Bài 5. Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC. Lấy E là điểm đối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K. Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình chữ nhật
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình chữ nhật
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình chữ nhật
• Chứng tỏ một điểm di động trên 1 đường thẳng song song với 1 đường thẳng cho trước

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---