Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật.

Tính tuổi của thiên thể, mẫu cổ vật (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Tính tuổi thiên thể: Giả sử khi mới hình thành một thiên thể tỉ lệ hai đồng vị U238 và U235 là a:b (số hạt nguyên chất tương ứng là aN₀ và bN₀). Số hạt còn lại hiện nay lần lượt là:

$\left\{\begin{array}{l}{N}_1=a{N}_0.e^{\frac{-\ln 3}{T_1}t}\\ N_2=b{N}_0.e^{-\frac{\ln 2}{T_2}t}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{N_1}{N_2}=\frac{a}{b}{e}^{\left(\frac{\ln 2}{T_2}-\frac{\ln 2}{T_1}\right)t}\Rightarrow t=?$

Tính tuổi mẫu cổ vật: Giả sử khi mới hình thành một hòn đá, chỉ có U238 cứ mỗi hạt U238 phân rã tạo ra hạt Pb206. Đến thời điểm t, số hạt U238 còn lại và số hạt Pb206 tạo thành lần lượt là: $\left\{\begin{array}{l}{N}_{me}=N_0{e}^{-\frac{\ln 2}{T}t}\\ N_{con}=N_0\left(1-e^{-\frac{\ln 2}{T}t}\right)\end{array}\right.\Rightarrow \frac{N_{con}}{N_{me}}=\left(e^{\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)$

Ta có tỉ lệ về khối lượng: $\frac{m_{con}}{m_{me}}=\frac{A_{con}}{A_{me}}\left(e^{\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)$

2. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1: Hiện nay trong quặng thiên nhiên có cả U²³⁸ và U²³⁵ theo tỉ lệ số nguyên tử là 140:1. Giả thiết ở thời điểm hình thành Trái Đất tỉ lệ trên là 1:1. Tính tuổi của Trái đất, biết chu kì bán rã củaU²³⁸ và U²³⁵ là T₁ = 4,5.10⁹ năm T₂ = 0,713.10⁹ năm.

Hướng dẫn:

$\left\{\begin{array}{l}{N}_1=a{N}_0.e^{\frac{-\ln 3}{T_1}t}\\ N_2=b{N}_0.e^{-\frac{\ln 2}{T_2}t}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{N_1}{N_2}=e^{t\ln \left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)}\Rightarrow \frac{140}{1}=e^{t\ln \left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)}\Rightarrow t\approx {6.10}^9$

Ví dụ 2: Hiện nay Urani tự nhiên chứa hai đồng vị phóng xạ 235u và 238u, với tỉ lệ số hạt 235u và số hạt 238u là 7/1000. Biết chu kì bán rã của ²³⁵U và ²³⁸U lần lượt là 7,00.10⁸ năm và 4,50.10⁹ năm. Cách đây bao nhiêu năm, urani tự nhiên có tỷ lệ số hạt ²³⁵U và số hạt ²³⁸U là 3/100.

Hướng dẫn:

Số hạt U 235 và U238 cò lại lần lượt là: $\left\{\begin{array}{l}{N}_1=N_{01}{e}^{-\frac{\ln 2}{T_1}t}\\ N_1=N_{01}{e}^{-\frac{\ln 2}{T_1}t}\end{array}\right.$ 

$\Rightarrow \frac{N_1}{N_2}=\frac{N_{01}}{N_{02}}{e}^{t\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)\ln 2}\Rightarrow \frac{7}{1000}=\frac{3}{1000}{e}^{t\left(\frac{1}{4,5}-\frac{1}{0,7}\right)\ln 2}\Rightarrow t=1,74$ (tỉ năm).

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. ²³⁸U phân rã thành ²⁰⁶Pb với chu kì bán rã 4,47.10⁹ năm. Một khối đá được phát hiện chứa 46,97 mg ²³⁸U và 23,15 mg ²⁰⁶Pb. Giả sử khối đá khi mới hình thành không chứa nguyên tố chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của ²³⁸U. Tuổi của khối đá đó hiện nay là bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Số hạt nhân U đã bị phân rã bằng số hạt nhân Pb tạo thành:

$\Delta \text{N}=\frac{{\text{m}}_{\text{Pb}}}{{\text{A}}_{\text{Pb}}}\cdot {\text{N}}_{\text{A}}=\frac{23,{15.10}^{-3}}{206}.6,{02.10}^{23}=6,{76.10}^{19}$(hạt)

Số hạt nhân U còn lại là: $\text{N}=\frac{{\text{m}}_U}{{\text{A}}_U}\cdot {\text{N}}_{\text{A}}=\frac{46,{97.10}^{-3}}{238}.6,{02.10}^{23}=11,{9.10}^{19}$(hạt)

Tại thời điểm hiện phát hiện: $\frac{\Delta \text{N}}{\text{N}}=\frac{N_0\left(1-2^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}\right)}{N_0{2}^{-\frac{\text{t}}{\text{T}}}}\Rightarrow 2^{\frac{\text{t}}{4,{47.10}^9}}-1=0,568\Rightarrow t=2,{9.10}^9$ năm.

Câu 2. Khi cây còn sống, tỉ lệ hai đồng vị ¹²C và ¹⁴C trong nó và trong khí quyển là như nhau. Khi chết, ¹⁴C có trong cây bị phân rã. Chu kì bán rã của ¹⁴C là 5 730 năm. So sánh sự phóng xạ b^- của một mẫu gỗ cổ với một mẫu gỗ tương tự còn sống, cả hai cùng chứa một lượng ¹⁴C người ta thấy số hạt ¹⁴C có trong mẫu gỗ cổ ít hơn 3 lần so với mẫu gỗ tương đương còn đang sống. Xác định tuổi của mẫu gỗ cổ.

Hướng dẫn:

Cả hai có cùng lượng ${}_6^{12}\text{C}$ nên lượng ${}_6^{14}\text{C}$ ban đầu là như nhau.

Định luật phóng xạ: $N_t=N_0\cdot 2^{-\frac{t}{T}}\Rightarrow 2^{-\frac{t}{T}}=\frac{N_t}{N_0}=\frac{1}{3}$ năm

Câu 3: Hạt nhân urani  ${}_{92}^{238}U$ sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì ${}_{82}^{206}Pb$ . Trong quá trình đó, chu kỉ bán rã của ${}_{92}^{238}U$  biến đổi thành hạt nhân chì là 4,47.10⁹ năm. Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.10²⁰ hạt nhân ${}_{92}^{238}U$ và 6,239.10¹⁸ hạt nhân ${}_{82}^{206}Pb$. Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của ${}_{92}^{238}U$. Tuổi của khối đá khi được phát hiện là bao nhiêu năm?

Hướng dẫn:

$\frac{N_{con}}{N_{me}}=\left(e^{\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)\Rightarrow \frac{6,{239.10}^{18}}{1,{88.10}^{20}}=e^{\frac{\ln 2}{4,{47.10}^9}t}-1\Rightarrow t=3,{3.10}^8$ (năm).

Câu 4: Một mẫu quặng Uran tự nhiên gồm U235 với hàm lượng 0,72% và phần còn lại là U238. Hãy xác định hàm lượng của U235 và thời kì Trái Đất được tạo thành cách đây 4,5 (tỉ năm). Cho biết chu kì bán rã của các đồng vị U235 và U238 lần lượt là 0,704 (tỉ năm) và 4,46 (tỉ năm).

A. 22%.                      

B. 24%.                  

C. 23%.                  

D. 25%.

Hướng dẫn

Đáp án đúng là C

$\left\{\begin{array}{l}{m}_1=m_{10}{e}^{-\frac{\ln 2}{T_1}t}\\ m_2=m_{20}{e}^{-\frac{\ln 2}{T_2}t}\end{array}\right.\Rightarrow \frac{m_1}{m_2}=\frac{m_{10}}{m_{20}}{e}^{t\ln 2\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)}\Rightarrow \frac{m_{10}}{m_{20}}=\frac{m_1}{m_2}{e}^{-t\ln 2\left(\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}\right)}$

$\Rightarrow \frac{m_{10}}{m_{20}}=\frac{0,72}{99,28}{e}^{-4,5\ln 2\left(\frac{1}{4,46}-\frac{1}{0,704}\right)}\approx 0,333\Rightarrow \%m_{10}=\frac{0,303}{1,303}=23\%.$

Câu 5: Hạt nhân urani  ${}_{92}^{238}U$ sau một chuỗi phân rã, biến đổi thành hạt nhân chì ${}_{82}^{206}Pb$ . Trong quá trình đó, chu kỉ bán rã của ${}_{92}^{238}U$  biến đổi thành hạt nhân chì là 4,47.10⁹ năm. Một khối đá được phát hiện có chứa 1,188.10²⁰ hạt nhân ${}_{92}^{238}U$ và 6,239.10¹⁸ hạt nhân ${}_{82}^{206}Pb$. Giả sử khối đá lúc mới hình thành không chứa chì và tất cả lượng chì có mặt trong đó đều là sản phẩm phân rã của ${}_{92}^{238}U$. Tuổi của khối đá khi được phát hiện là

A. 3,3.10⁸ năm.          

B. 6,3.10⁹ năm.      

C. 3,5.10⁷ năm.      

D. 2,5.10⁶ năm.

Hướng dẫn

Đáp án đúng là A

$\frac{N_{con}}{N_{me}}=\left(e^{\frac{\ln 2}{T}t}-1\right)\Rightarrow \frac{6,{239.10}^{18}}{1,{88.10}^{20}}=e^{\frac{\ln 2}{4,{47.10}^9}t}-1\Rightarrow t=3,{3.10}^8$ (năm).

Câu 6: Đồng vị U238 sau một loạt phóng xạ α và β biến thành chì theo phương trình sau: $U238\to 8\alpha +6{\beta }^{-}+Pb206$. Chu kì bán rã của quá trình đó là 4,6 (tỉ năm). Giả sử có một loại đá chỉ chứa U238, không chứa chì. Nếu hiện nay tỉ lệ các khối lượng của Uran và chì trong đá ấy là 37 thì tuổi của đá ấy là bao nhiêu?

A. 0,1 tỉ năm.             

B. 0,2 tỉ năm.         

C. 0,3 tỉ năm.         

D. 0,4 tỉ năm.

Hướng dẫn

Đáp án đúng là B

$\frac{m_{con}}{m_{me}}=\frac{A_{con}}{A_{me}}\left(e^{\frac{\ln 2}{T}}-1\right)\Rightarrow \frac{1}{37}=\frac{206}{238}\left(e^{\frac{\ln 2}{4,6}}-1\right)\Rightarrow t\approx 0,2$ (tỉ năm).

Câu 7. Trong một mẫu đá được các nhà du hành mang về Trái Đất từ Mặt Trăng, các nhà khoa học phát hiện có 75% potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ ban đầu đã biến thành argon ${}_{18}^{40}\text{Ar}.$ Biết rằng, khi được hình thành, mẫu đá không chứa argon; toàn bộ argon được tạo ra có nguồn gốc từ potassium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của ${}_{19}^{40} \text{K}$ là 1,25.10⁹ năm.

a) Xác định tuổi của mẫu đá đó.

b) Sau bao nhiêu lâu nữa thì lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ còn lại bằng 6,25% lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ ban đầu?

Hướng dẫn:

a) $\frac{\Delta N}{N_0}=1-2^{-\frac{t}{T}}=0,75\Rightarrow t=2T=2,{5.10}^9$ năm

Niên đại của mẫu đá là cách đây 2,50 tỉ năm.

b) $\frac{N}{N_0}=2^{-\frac{t}{T}}=6,25\%\Rightarrow t=4T={10.10}^9$

Sau 7,50.10⁹ năm, kể từ hiện tại, lượng potassium ${}_{19}^{40} \text{K}$ còn lại trong mẫu đá bằng 6,25% lượng ban đầu.

Câu 8. Hạt nhân ${}_{92}^{238}\text{U}$ sau một chuỗi các quá trình phóng xạ $\alpha$ và ${\beta }^{-}$liên tiếp biến đổi thành hạt nhân ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ bền theo phương trình chuỗi phản ứng:

${}_{92}^{238}\text{U}{\to }_{82}^{206} \text{Pb}+{\text{x}}_2^4\text{He}+{\text{y}}_{-1}^0\text{e}$

Trong đó, x và y lần lượt là số lần phóng xạ $\alpha$ và $\beta$ trong chuỗi phóng xạ.

Trong một mẫu quặng uranium, người ta thấy có lẫn chì ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ cùng với ${}_{92}^{238}\text{U}$ Biết rằng toàn bộ chì được tạo ra có nguồn gốc từ uranium và không hề bị thất thoát vào môi trường. Cho chu kì bán rã của ${}_{92}^{238}\text{U}$ là 4,47 tỉ năm. Tính tuổi của mẫu quặng trong hai trường hợp:

i) Tỉ lệ nguyên tử tìm thấy là cứ 1 nguyên tử ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ thì có 5 nguyên tử ${}_{92}^{238}\text{U}$

ii) Tị lệ khối lượng tìm thấy là cứ 1g ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ thì có 5g ${}_{92}^{238}\text{U}$

Hướng dẫn:

$\left\{\begin{array}{l}238=206+4x+0y\\ 92=82+2x-y\end{array}\right.\Rightarrow x=8;y=6$.

i. Gọi số hạt ${}_{92}^{238}\text{U}$ ban đầu là $N_0$, số hạt ${}_{92}^{238}\text{U}$ còn lại là $N\Rightarrow$ số hạt ${}_{92}^{238}\text{U}$ bị phân rã cũng chính là số hạt ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ được tạo thành là: $\Delta N=N_0-N=N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)$

Theo đề bài: $\frac{\Delta N}{N}=\frac{1}{5}\Rightarrow \frac{N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)}{N_0{2}^{-\frac{t}{T}}}=\frac{1}{5}\Rightarrow 2^{-\frac{t}{T}}=\frac{5}{6}\Rightarrow t=-T{\log }_2\left(\frac{5}{6}\right)=1,{18.10}^9$năm

Vậy niên đại của mẫu quặng là 1,18 tỉ năm.

ii. Mối liên hệ giữa khối lượng và số nguyên tử trong một mẫu chất là: $m=\frac{N}{N_{\text{A}}}A$

Do đó, tỉ lệ khối lượng giữa ${}_{82}^{206} \text{Pb}$ và ${}_{92}^{238}\text{U}$ là: $\frac{m_{\text{Pb}}}{m_{\text{U}}}=\frac{206\frac{N_{\text{Pb}}}{N_{\text{A}}}}{238\frac{N_{\text{U}}}{N_{\text{A}}}}=\frac{206N_{\text{Pb}}}{238N_{\text{U}}}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow \frac{\Delta N}{N}=\frac{238}{5.206}\Rightarrow \frac{N_0\left(1-2^{-\frac{t}{T}}\right)}{N_0{2}^{-\frac{t}{T}}}=\frac{238}{5.206}=\frac{119}{515}$

$\Rightarrow 2^{-\frac{t}{T}}=\frac{515}{634}\Rightarrow t=-T{\log }_2\left(\frac{515}{634}\right)=1,{34.10}^9$ năm.

Câu 9. Một tượng cổ bằng gỗ có độ phóng xạ H. Một mảnh gỗ của cây vừa mới chặt, nếu có khối lượng tương đương sẽ có độ phóng xạ là 1,5H. Chu kì bán rã của ¹⁴C là 5 600 năm. Tính tuổi của tượng gỗ cổ này.

Hướng dẫn:

Ta có $\text{H}={\text{H}}_0{.2}^{-\frac{t}{T}}\Rightarrow H=1,5H{.2}^{-\frac{t}{5600}}\Rightarrow t=3276$ năm.

Vậy tuổi của tượng gỗ là 3276 năm.

Câu 10. Các nhà khoa học đã xác định được độ phóng xạ của 1g mẫu carbon trong cơ thể sinh vật sống là $0,231\text{Bq}.$ Biết rằng, trong số các đồng vị của carbon có trong mẫu, chỉ có ${}_6^{14}\text{C}$ là đồng vị phóng xạ với chu kì bán rã là 5730 năm.

a) Xác định số nguyên tử ${}_6^{14}\text{C}$ có trong 1 g mẫu carbon đó.

b) Vào ngày 19/9/1991, trong khi đang tìm đường vượt qua dãy Otztal Alps, hai nhà leo núi người Đức đã phát hiện thấy xác ướp người cổ được bảo quản hầu như nguyên vẹn trong băng tuyết tại Hauslabjoch, khu vực giữa biên giới Áo và Italia. Xác ướp đó được đặt tên là người băng Otzi. Tại thời điểm này, các nhà khoa học đã đo được độ phóng xạ của 1 g mẫu carbon trong cơ thể người băng Otzi là $0,121\text{Bq}.$ Xác định niên đại của người băng đó.

Hướng dẫn:

a) $N=\frac{H}{\lambda }=\frac{H}{\frac{\ln 2}{T}}=\frac{0,231}{\frac{\ln 2}{\mathrm{5730.365.86400}}}=6,{02.10}^{10}$ nguyên tử.

b) $H=H_0{.2}^{-\frac{t}{T}}\Rightarrow 0,121=0,{231.2}^{-\frac{t}{5730}}\Rightarrow t\approx 5345$năm.

Xem thêm các dạng bài tập Vật Lí 12 hay, chi tiết khác:

• Xác số hạt nhân trong m (g) chất
• Viết phương trình phản ứng hạt nhân
• Bài toán về năng lượng liên kết hạt nhân
• Năng lượng trong phản ứng hạt nhân
• Bài toán về định luật phóng xạ
• Độ phóng xạ

---