Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác

Giải vở bài tập Toán 7 Bài tập cuối chương 7

Câu 9 trang 128 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, H là trực tâm, I là giao điểm của ba đường phân giác, O là giao điểm của ba đường trung trực. Các điểm A, G, H, I, O phân biệt. Chứng minh rằng:

a) Nếu tam giác ABC cân tại A thì các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng;

b) Nếu ba điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng thì tam giác ABC cân tại A.

Lời giải:

a) Hình 112

Vẽ đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Suy ra G thuộc đường thẳng AM.

Xét hai tam giác ABM và ACM, ta có

AM là cạnh chung;

AB = AC (hai cạnh bên của tam giác cân);

MB = MC (vì M là trung điểm của BC).

Suy ra ∆ABM = ∆ACM (c.c.c).

Do đó $\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ và $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ (hai góc tương ứng).

Ta có $\widehat{AMB}$ + $\widehat{AMC}$ = 180^o (hai góc kề bù) và $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ nên và $\widehat{AMB}$ = $\widehat{AMC}$ = 90^o hay AM BC. Suy ra điểm H thuộc đường thẳng AM.

Do $\widehat{BAM}$ = $\widehat{CAM}$ nên AM là tia phân giác của góc BAC. Suy ra điểm I thuộc đường thẳng AM.

Do AB = AC và MB = MC nên AM là đường trung trực của cạnh BC. Suy ra điểm O thuộc đường thẳng AM.

Như vậy, các điểm G, H, I, O thuộc đường thẳng AM hay các điểm A, G, H, I, O cùng nằm trên một đường thẳng.

b) Hình 113

Vẽ đường cao AD của tam giác ABC. Do các điểm A, H, I cùng nằm trên một đường thẳng nên AD là đường phân giác của tam giác ABC.

Xét hai tam giác vuông ABD và ACD, ta có:

AD là cạnh chung;

$\widehat{BAD}$ = $\widehat{CAD}$ (vì AD là tia phân giác của góc BAC).

Suy ra ∆ABD = ∆ACD (cạnh góc vuông – góc nhọn).

Do đó AB = AC (hai cạnh tương ứng).

Vậy tam giác ABC là tam giác cân.

Xem thêm các bài giải Vở bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Câu 1 trang 123 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có $\hat{A}$ = 42^o, $\hat{B}$ = 37^o ...

• Câu 2 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính các số đo x, y trong Hình 105 ...

• Câu 3 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa đánh dấu ba vị trí A, B, C trên một phần sơ đồ xe buýt ở Hà Nội năm 2021 ...

• Câu 4 trang 124 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: AB = MN, BC = NP, CA = PM ...

• Câu 5 trang 125 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho Hình 108 có O là trung điểm của đoạn thẳng AB và O nằm giữa hai điểm M và N ...

• Câu 6 trang 126 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có $\widehat{ABC}$ = 70^o. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H ...

• Câu 7 trang 126 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho hai tam giác nhọn ABC và ECD, trong đó ba điểm B, C, D thẳng hàng ...

• Câu 8 trang 127 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là giao điểm của ba đường trung trực. Qua các điểm A, B, C ...

• Câu 10 trang 129 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau đó cắt một phần tam giác ở phía góc A (Hình 114) ...

• Câu 11 trang 129 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có $\hat{M}$ = 40^o, $\hat{N}$ = 70^o. Khi đó $\hat{P}$ bằng? ...

• Câu 12 trang 130 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác nhọn MNP có trực tâm H. Khi đó góc HMN bằng góc nào sau đây? ...

• Câu 13 trang 130 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác MNP có MN = 1 dm, NP = 2 dm, MP = x dm. với x {1; 2; 3; 4}. Khi đó x nhận giá trị nào? ...

• Câu 14 trang 131 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Nếu tam giác MNP có trọng tâm G. đường trung tuyến MI thì tỉ số MG/MI bằng ...

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---