HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Trang trước Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12: Xét bài toán quy hoạch tuyến tính

Quảng cáo

F(x; y) = 3x + 4y → min

với các ràng buộc

HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

a) Kiểm tra lại rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.

b) Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả mãn F(x; y) = 3x + 4y = 12.

c) Với mỗi số thực m, xét đường thẳng d_m: 3x + 4y = m.

Từ hình vẽ, tìm điều kiện của m để d_m ∩ S ≠ ∅.

d) Từ phần c suy ra giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền chấp nhận được. Chứng tỏ rằng, giá trị nhỏ nhất này chính là giá trị của F(x; y) tại một điểm cực biên của miền chấp nhận được.

Lời giải:

a) Biểu diễn miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ ràng buộc ta thấy rằng miền S tô màu trong Hình 2.6 là miền chấp nhận được của bài toán.

b) Theo bài, F(x; y) = 3x + 4y = 12.

HĐ3 trang 29 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Vậy tập hợp điểm M(x; y) thỏa mãn yêu cầu đề bài là tập hợp các điểm nằm trên đường thẳng d₁₂: 3x + 4y = 12 nằm trong miền chấp nhận S, chính là tập hợp các điểm nằm trên đoạn thẳng AB (hình vẽ).

b) Đường thẳng d_m song song với AB, có phương không đổi, do đó từ hình vẽ, ta thấy đường thẳng d_m: 3x + 4y = m luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ $y = \frac{m}{4} .$

Từ hình vẽ, ta thấy rằng để d_m ∩ S ≠ ∅ thì $\frac{m}{4} \geq \frac{5}{2},$ tức là m ≥ 10.

Vậy m ≥ 10.

c) Ta có: F(x; y) = 3x + 4y = m, mà theo kết quả của câu b, ta có m ≥ 10 nên F(x; y) ≥ 10.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S là 10.

Ta có các điểm cực biên của miền S là: (0; 3), (2; 1), (4; 0).

⦁ F(0; 3) = 3.0 + 4.3 = 12;

⦁ F(2; 1) = 3.2 + 4.1 = 10;

⦁ F(4; 0) = 3.4 + 4.0 = 12.

Vậy giá trị nhỏ nhất của F(x; y) trên miền S chính là giá trị của F(x; y) tại điểm cực biên có tọa độ (2; 1) của miền chấp nhận được.

Quảng cáo

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính hay, chi tiết khác: