Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất



Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Việc nhớ chính xác một công thức Toán lớp 12 trong hàng trăm công thức không phải là việc dễ dàng, với mục đích giúp học sinh dễ dàng hơn trong việc nhớ Công thức, VietJack biên soạn bản tóm tắt Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất. Hi vọng loạt bài này sẽ như là cuốn sổ tay công thức giúp bạn học tốt môn Toán lớp 12 hơn.

Tải xuống

I. Hệ tọa độ Oxyz: Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đôi một vuông góc nhau có véctơ đơn vị lần lượt là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

II. Tọa độ của vectơ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

III. Tọa độ của điểm: M(x;y;z) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = (x;y;z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)

Đặc biệt:

M ∈ (Oxy) ⇔ zM = 0

M ∈ (Oyz) ⇔ xM = 0

M ∈ (Oxz) ⇔ yM = 0

M ∈ Ox ⇔ yM = zM = 0

M ∈ Oy ⇔ xM = zM = 0

M ∈ Oz ⇔ xM = yM = 0

Hình chiếu vuông góc của điểm M(xM;yM;zM) lên:

Trục Ox là: M1(xM;0;0)

Trục Oy là: M2(0;yM;0)

Trục Oz là: M3(0;0;zM)

mp(Oxy) là: M12(xM;yM;0)

mp(Oxz) là: M13(xM;0;zM)

mp(Oyz) là: M23(0;yM;zM)

IV. Các công thức về tọa độ: Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất “Hoành bằng hoành, tung bằng tung, cao bằng cao”

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ tồn tại một số k sao cho: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Tọa độ vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

V. Tích vô hướng của hai vectơ:

+) Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất “Hoành nhân hoành+ tung nhân tung + cao nhân cao”

+) Ứng dụng:

Độ dài vectơ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Độ dài đoạn thẳng AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Góc giữa hai vectơ:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Điều kiện hai vectơ vuông góc:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VI. Tích có hướng của hai vectơ:

+) Định nghĩa: Cho hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Tích có hướng của hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất là 1 vectơ được xác định như sau:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Quy tắc: 23-31-12 Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Cách tính tích có hướng của hai vectơ bằng máy tính

1. Máy 570VN PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → MODE → 8 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 → =

2. Máy 570ES PLUS

ON → MODE → 8 → 1 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 2 → 2 → 1: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → X → SHIFT → 5 → 4 =

3. Máy 570MS

ON → SHIFT → 5 → 1 → 1 → 3: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 1 → 2 → 3: Nhập tọa độ Vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

AC → SHIFT → 5 → 3 → 1 → X → SHIFT → 5 → 3 → 2 → =

+) Tính chất của tích có hướng:

- Nếu Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Hai vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương với nhau ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Ba vectơ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất đồng phẳng với nhauCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = 0

( Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất được gọi là tích hỗn tạp của ba vectơ)

+) Ứng dụng của tích có hướng:

- A, B, C thẳng hàng ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- A, B, C, D đồng phẳng ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất = 0

Suy ra A, B, C, D tạo thành tứ diện (không đồng phẳng) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ≠ 0

- Diện tích hình bình hành ABCD: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Diện tích tam giác ABC: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D': Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Thể tích tứ diện ABCD: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VII. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng đi qua M0(x0;y0;z0) và có VTPT Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất là:

A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

- Nếu (α) có phương trình Ax + Bx + Cz + D = 0 thì (α) có VTPT là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Hai mặt phẳng song song với nhau thì VTPT của mặt này cũng là VTPT của mặt kia, hai mặt phẳng vuông góc nhau thì VTPT của mặt này là VTCP của mặt kia.

- Khoảng cách từ điểm M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng :

(α) : Ax + Bx + Cz + D = 0 : d(M0);(α) = Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Đặc biệt: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Các dạng toán viết phương trình mặt phẳng: Để viết phương trình mặt phẳng (α) ta cần xác định một điểm thuộc (α) và một VTPT của nó.

Dạng 1: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có VTPT Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

(α): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0

Dạng 2: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) có cặp VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 3: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VNPTCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 4: (α) đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 5: (α) là mặt phẳng trung trực của MN:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

(α): Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 6: (α) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (β), (γ):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 7: (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H ((α) là tiếp diện của mặt cầu (S) tại H):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm tâm I của mặt cầu (S)

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 8: (α) song song với mặt phẳng (β): Ax + By + Cz + D = 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Vì (α) song song với (β) nên phương trình mp(α) có dạng Ax + By + Cz + m = 0 (m ≠ D)

– Vì (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I,(α)) = R → Giải phương trình này ta tìm được m .

Dạng 9: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với đường thẳng AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 10: (α) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Khi đó VTPT của (α) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 11: (α) đi qua điểm M và song song với hai đường thẳng d1, d2 chéo nhau (hoặc cắt nhau):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 12: (α) chứa đường thẳng d1 và song song với đường thẳng d2 (d1, d2 chéo nhau):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 13: (α) chứa đường thẳng d và 1 điểm M không nằm trên d:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Trên d lấy 1 điểm A

- Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 14: (α) chứa 2 đường thẳng cắt nhau d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy một điểm M thuộc d1 hoặc d2 ⇒ M ∈ (α).

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 15: (α) chứa 2 đường thẳng song song d1, d2 :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy M1 thuộc d1 và M2 thuộc d2

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 16: (α) chứa đường thẳng d và vuông góc với mặt phẳng (β):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lấy một điểm M thuộc d ⇒ M ∈ (α).

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

VIII. Phương trình mặt cầu:

- Dạng 1: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

- Dạng 2: Phương trình x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 với điều kiện a2 + b2 + c2 - d = 0 là phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và bán kính Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Điều kiện mặt cầu S(I,R) tiếp xúc với mặt phẳng (P) là: d(I,(P)) = R

Các dạng toán viết phương trình mặt cầu: Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu.

Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R:

(S): (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R2

Dạng 2: Mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm M:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Bán kính R = IM

Dạng 3: Mặt cầu (S) có đường kính AB:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

– Bán kính R = IA = Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 4: Mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD):

– Giả sử phương trình mặt cầu có dạng: x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by - 2cz + d = 0 (S).

– Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (S), ta được 4 phương trình.

– Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d ⇒ Phương trình mặt cầu (S).

Dạng 5: Mặt cầu tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Bán kính: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

IX.Phương trình của đường thẳng: Cho đường thẳng d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất thì d có

Phương trình tham số là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Phương trình chính là: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất (nếu a, b, c đều khác 0)

Các dạng toán viết phương trình đường thẳng: Để lập phương trình đường thẳng d ta cần xác định một điểm thuộc d và một VTCP của nó.

Dạng 1: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 2: d đi qua hai điểm A, B:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 3: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và song song với đường thẳng Δ cho trước:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 4: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 5: d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm toạ độ một điểm M ∈ d: bằng cách giải hệ phương trình Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất (với việc chọn giá trị cho một ẩn, thường cho )

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 6: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 7: d qua M, song song (hoặc nằm trong mp(P)) và vuông góc với đường thằng Δ :

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Dạng 8: d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm các giao điểm A = d1 ∩ (P), B = d2 ∩ (P).

– Khi đó d chính là đường thẳng AB.

Dạng 9: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) , vuông góc và cắt đường thẳng Δ:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d qua M0 và hình chiếu H của M0 trên đường thẳng Δ

Dạng 10: d đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và cắt hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (P) = (M0, d1) , (Q) = (M0, d2) .

– Khi đó d = (P) ∩ (Q). Do đó, VTCP của d là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất .

Dạng 11: d song song với Δ và cắt cả hai đường thẳng d1, d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (P) là mặt phẳng chứa d1 song song Δ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d2 song song Δ: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 12: d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhấtCông thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất chéo nhau:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Giả sử d cắt tại I, d cắt tại J.

– Vì Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ,

– Giải hệ phương trình: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ta tìm được t1, t2 từ đó suy ra tọa độ I, J.

– d chính là đường thẳng qua 2 điểm I, J.

Dạng 13: d là hình chiếu của đường thẳng Δ lên mặt phẳng (P):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa Δ và vuông góc với mặt phẳng (P) bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó d = (P) ∩ (Q).

Dạng 14: d đi qua điểm M, vuông góc với d1 và cắt d2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d1.

– Tìm giao điểm N của (P) và d2

– Khi đó d chính là đường thằng qua 2 điểm MN

X. Cách tìm hình chiếu, điểm đối xứng.

- Tìm hình chiếu H của điểm M trên mặt phẳng (P):

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với mp(P) bằng cách: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua mp(P), ta có H là trung điểm của MM’ nên:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Tìm hình chiếu H của điểm M trên đường thẳng d:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vuông góc với d bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: H = d ∩ (P)

(+) Nếu bài toán yêu cầu tìm M’ đối xứng với M qua d, ta có H là trung điểm của MM’ nên:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng:

Cho hai mặt phẳng (P) : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 và (Q) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0

(P), (Q) cắt nhau ⇔ A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2

(P) // (Q) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

(P) ≡ (Q) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: (P) ⊥ (Q) Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0

XII. Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng:

Cho mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Thay phương trình đường thẳng d vào phương trình mặt phẳng (P) ta được 1 phương trình bậc nhất ẩn t:

A(x0 + at) + B(y0 + bt) + C(z0 + ct) + D = 0 (*)

- TH1: (*) có đúng một nghiệm thì d cắt (P)

- TH2: (*) vô nghiệm thì d // (P)

- TH3: (*) có vô số nghiệm thì d ⊂ (P)

Đặc biệt: d ⊥ (P) ⇔ Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất cùng phương Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

XIII. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d1 qua A(x1;y1;z1) có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d2 qua A(x2;y2;z2) có VTCP Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 chéo d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 cắt d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất hoặc hệ phương trình Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất có 1 nghiệm.

+ d1 // d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d1 ≡ d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Đặc biệt: d1 ⊥ d2Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất ⇔ a1a2 + b1b2 + c1c2 = 0

XIV. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng và mặt cầu:

Cho mặt phẳng (α) và mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R.

+ d(I,(α)) > R thì (α) và (S) không có điểm chung.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+ d(I,(α)) = R thì (α) và (S) có 1 điểm chung H duy nhất. Khi đó ta nói (α) tiếp xúc với (S) tại H. H được gọi là tiếp điểm, (P) được gọi là tiếp diện của (S) tại H.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Muốn tìm tọa độ điểm H ta tìm hình chiếu của I trên mp(α).

+ d(I,(α)) < R thì (α) và (S) cắt nhau theo giao tuyến là 1 đường tròn (C). Tâm H của đường tròn (C) là hình chiếu của I trên mp(α), bán kính của (C) là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất với d(I,(α)) .

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

XV. Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ điểm M0(x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song: Bằng khoảng cách từ 1 điểm bất kỳ thuộc đường thẳng đến mặt phẳng.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

+) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thằng Δ :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ đi qua M0 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Cách 2:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Tìm tọa độ hình chiếu H của M trên đường thẳng Δ .

– Khi đó d(M,Δ) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song Δ1 và Δ2 : Bằng khoảng cách từ 1 điểm tùy ý trên đường thẳng Δ1 đến đường thẳng Δ2

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

d(Δ1, Δ2) = d(M1, Δ2) = MH

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1 và Δ2 :

- Cách 1: Giả sử đường thẳng Δ1 qua điểm M1 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất , đường thẳng Δ2 qua điểm M2 và có vectơ chỉ phương là Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất . Ta có:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

- Cách 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Δ1 và Δ2 bằng khoảng cách giữa đường thẳng này đến mặt phẳng song song với nó chứa đường thẳng kia.

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa Δ1 và song song với Δ2 bằng cách:

Công thức giải nhanh Toán lớp 12 Chương 1 Hình học chi tiết nhất

– Khi đó: d(Δ1, Δ2) = d(M2, (α))

Tải xuống

Xem thêm tổng hợp công thức môn Toán lớp 12 đầy đủ và chi tiết khác:

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 6 tại khoahoc.vietjack.com

GIẢM GIÁ 40% KHÓA HỌC VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 6 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Tiếng Anh lớp 6 - cô Tuyết Nhung

4.5 (243)

799,000đs

599,000 VNĐ

Toán 6 - Cô Diệu Linh

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Văn 6 - Cô Ngọc Anh

4.5 (243)

799,000đ

599,000 VNĐ

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k9: fb.com/groups/hoctap2k9/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài 500 Công thức, Định Lí, Định nghĩa Toán, Vật Lí, Hóa học, Sinh học được biên soạn bám sát nội dung chương trình học các cấp.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.