Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a

Sổ tay toán lý hóa 12 chỉ từ 29k/cuốn

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện

Bài 27 trang 99 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a. Gọi α, β, γ lần lượt là số đo của các góc nhị diện [B, SA, C], [A, BC, S], [A, SC, B]. Tính:

Quảng cáo

a) cosα, cosβ;

b*) cosγ.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), AB ⊥ BC, SA = AB = 3a, BC = 4a

a) Do SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ AB, SA ⊥ AC và SA ⊥ BC.

· Ta có: AB ⊥ SA, AC ⊥ SA và AB ∩ AC = A ∈ SA.

Suy ra $\hat{B A C}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SA, C], tức là $α = \hat{B A C} .$

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

AC² = AB² + BC² ⇒ AC² = (3a)² + (4a)² = 25a²⇒ AC = 5a.

Và $\cos α = \cos \hat{B A C} = \frac{A B}{A C} = \frac{3 a}{5 a} = \frac{3}{5} .$

· Ta có: BC ⊥ SA, BC ⊥ AB và SA ∩ AB = A trong (SAB) suy ra BC ⊥ (SAB).

Mà SB ⊂ (SBC) nên BC ⊥ SB.

Ta có: AB ⊥ BC, SB ⊥ BC và AB ∩ SB = B ∈ BC.

Suy ra $\hat{S B A}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, BC, S], tức là $β = \hat{S B A} .$

Xét tam giác SAB vuông tại A có:

SB² = SA² + AB² ⇒ SB² = (3a)² + (3a)² = 18a² $\Rightarrow S B = 3 \sqrt{2} a .$

Và $\cos β = \cos \hat{S B A} = \frac{A B}{S B} = \frac{3 a}{3 \sqrt{2} a} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

b*) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SC nên AH ⊥ SB và AK ⊥ SC.

Do BC ⊥ (SAB) (cmt) và AH ⊂ (SAB) nên BC ⊥ AH.

Ta có: AH ⊥ SB, AH ⊥ BC và SB ∩ BC = B trong (SBC) nên AH ⊥ (SBC).

Mà SC ⊂ (SBC) và HK ⊂ (SBC).

Suy ra: AH ⊥ SC và AH ⊥ HK.

Ta có: SC ⊥ AH, SC ⊥ AK (cmt) và AH ∩ AK = A trong (AHK) nên SC ⊥ (AHK).

Mà HK ⊂ (AHK).

Suy ra SC ⊥ HK.

Từ đó ta có: HK ⊥ SC, AK ⊥ SC và HK ∩ AK = K ∈ SC.

Suy ra $\hat{A K H}$ chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, SC, B], tức là $γ = \hat{A K H} .$

Áp dụng hệ thức lượng trong:

· Tam giác SAB vuông tại A với đường cao AH có:

AH. SB = SA. AB $\Rightarrow A H = \frac{S A . A B}{S B} = \frac{3 a .3 a}{3 \sqrt{2} a} = \frac{3}{\sqrt{2}} a .$

· Tam giác SAC vuông tại A với đường cao AK có:

AK. SC = SA. AC $\Rightarrow A K = \frac{S A . A C}{S C} = \frac{S A . A C}{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}}$

(Do tam giác SAC vuông tại A nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}}$ )

$\Rightarrow A K = \frac{3 a .5 a}{\sqrt{{(3 a)}^{2} + {(5 a)}^{2}}} = \frac{15 a^{2}}{a \sqrt{34}} = \frac{15 a}{\sqrt{34}} .$

Xét tam giác AHK vuông tại H (vì AH ⊥ HK) có:

$H K = \sqrt{A K^{2} - A H^{2}} = \sqrt{{(\frac{15 a}{\sqrt{34}})}^{2} - {(\frac{3 a}{\sqrt{2}})}^{2}} = \frac{6 a}{\sqrt{17}} .$

Và $\cos γ = \cos \hat{A K H} = \frac{H K}{A K} = \frac{\frac{6 a}{\sqrt{17}}}{\frac{15 a}{\sqrt{34}}} = \frac{2 \sqrt{2}}{5} .$

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Tài liệu cho giáo viên: Giáo án, powerpoint, đề thi giữa kì cuối kì, đánh giá năng lực, thi thử THPT, HSG, chuyên đề, bài tập cuối tuần..... độc quyền VietJack, giá hợp lí

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.