Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD)
Giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện
Bài 28 trang 100 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, AC cắt BD tại O, SO ⊥ (ABCD). Tất cả các cạnh của hình chóp bằng a.
a) Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC).
b) Gọi α là số đo của góc nhị diện [S, CD, A]. Tính cosα.
c) Gọi d là giao tuyến giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD), β là số đo của góc nhị diện [A, d, D]. Tính cosβ.
d*) Gọi γ là số đo góc nhị diện [B, SC, D]. Tính cosγ.
Lời giải:
a) Ta có: SO ⊥ (ABCD) và OB ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ OB.
Do ABCD là hình vuông nên OB ⊥ AC.
Ta có: OB ⊥ SO, OB ⊥ AC và SO ∩ AC = O trong (SAC) nên OB ⊥ (SAC) hay O là hình chiếu vuông góc của B trên (SAC).
Do đó góc giữa SB và (SAC) là góc giữa SB và SO và bằng .
Vì ABCD là hình vuông cạnh a, nên
Xét tam giác SDB có: SB = SD = a và SB2 + SD2 = a2 + a2 = 2a2 = BD2 nên tam giác SBD vuông cân tại S.
Hơn nữa SO ⊥ BD (vì SO ⊥ (ABCD)).
Nên SO là đường phân giác của
Vậy góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (SAC) bằng 45°.
b) Gọi N là trung điểm của CD suy ra
Ta có: tam giác SCD đều (vì SC = SD = CD = a), SN là đường trung tuyến
Suy ra: SN ⊥ CD.
Áp dụng định lí Pythagore trong tam giác SNC vuông tại N có
SC2 = CN2 + SN2
Suy ra
Xét tam giác ACD có: O, N lần lượt là trung điểm của AC và DC nên ON là đường trung bình của tam giác ACD.
Suy ra: ON // AD và
Mà AD ⊥ CD (vì ABCD là hình vuông)
Nên ON ⊥ CD.
Ta thấy: SN ⊥ CD, ON ⊥ CD và SN ∩ ON = N ∈ CD.
Suy ra chính là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [S, CD, A], tức là
Vì SO ⊥ (ABCD) và ON ⊂ (ABCD) nên SO ⊥ ON.
Xét tam giác SNO vuông tại O có:
c) Ta có: S ∈ (SAB) ∩ (SCD), AB // CD, AB ⊂ (SAB) và CD ⊂ (SCD)
Suy ra giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) đi qua S và song song với AB và CD.
Gọi M là trung điểm của AB.
Tương tự câu b) ta có và
Ta có: tam giác SAB đều (vì SA = SB = AB = a), SM là đường trung tuyến
Nên SM ⊥ AB mà AB // d suy ra SM ⊥ d.
Tương tự ta có: SN ⊥ CD mà CD // d suy ra SN ⊥ d.
Ta thấy: SM ⊥ d, SN ⊥ d và SM ∩ SN = S ∈ d và SM, SN lần lượt nằm trong mặt phẳng nhị diện chứa đường thẳng d và điểm A, mặt phẳng nhị diện chứa đường thẳng d và điểm D.
Suy ra là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [A, d, D], tức là
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác SMN có:
d) Gọi H là hình chiếu của B trên SC nên BH ⊥ SC.
Ta có OB ⊥ (SAC) hay BD ⊥ (SAC).
Mà SC ⊂ (SAC) nên BD ⊥ SC.
Ta có: SC ⊥ BH, SC ⊥ BD và BH ∩ BD = B trong (BHD) nên SC ⊥ (BHD)
Mặt khác HD ⊂ (BHD) nên SC ⊥ HD.
Ta thấy: HD ⊥ SC, BH ⊥ SC và HD ∩ BH = H ∈ SC.
Suy ra là góc phẳng nhị diện của góc nhị diện [B, SC, D], tức là
Xét tam giác SBC đều cạnh a (vì SB = SC = SD = BC = CD = a) có: BH ⊥ SC.
Nên BH là đường trung tuyến, suy ra
Áp dụng định lí Pythagore trong tam SBH vuông tại H có:
SB2 = BH2 + SH2
Suy ra
Tương tự: tam giác SCD đều và đường trung tuyến
Áp dụng định lí Cosin trong tam giác BHD có:
Lời giải SBT Toán 11 Bài 3: Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Góc nhị diện hay khác:
Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:
- Giải sgk Toán 11 Cánh diều
- Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Cánh diều
- Giải SBT Toán 11 Cánh diều
- Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)
- Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
- Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
Săn SALE shopee Tết:
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn văn 11 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 11 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 11 - Cánh diều
- Giải Tiếng Anh 11 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 11 Friends Global
- Giải sgk Vật Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 11 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 11 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 11 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 11 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 11 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 11 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 11 - Cánh diều