Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau y = (2x-1)/(x+1)

Giải SBT Toán 12 Cánh diều Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Bài 81 trang 38 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

a) y = $\frac{2x-1}{x+1}$ ;

b) y = $\frac{x}{x-2}$ ;

c) y = $\frac{x^2-2x+2}{-x+1}$ ;

d) y = $\frac{x^2+2x-3}{x+2}$ .

Lời giải:

a) y = $\frac{2x-1}{x+1}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = 2, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = 2.

Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

   $\underset{x\to -1^{-}}{\lim }$ y = +∞, $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }$ y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{3}{{\left(x+1\right)}^2}$ > 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

3) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng, y = 2 là tiệm cận ngang.

Giao của đồ thị với trục tung tại điểm (0; −1), giao của đồ thị với trục hoành tại điểm $\left(\frac{1}{2};0\right)$ .

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (−4; 3); (−2; 5); (2; 1); $\left(\frac{1}{2};0\right)$ ; (0; −1).

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−1; 2) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

b) y = $\frac{x}{x-2}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = 1, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = 1.

Do đó, đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

   $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$ y = −∞, $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$ y = +∞.

Do đó, đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{-2}{{\left(x-2\right)}^2}$ < 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 2 làm tiệm cận đứng và y = 1 làm tiệm cận ngang.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: (0; 0); $\left(-2;\frac{1}{2}\right)$ ; (1; – 1) (3; 3); (4; 2).

Ta có đồ thị hàm số như sau:

Đồ thị nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (2; 1) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

c) y = $\frac{x^2-2x+2}{-x+1}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{1}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = −∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = +∞.

   $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$ y = +∞, $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$ y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-2x+2}{\left(-x+1\right)x}$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-2x+2}{-x^2+x}$ = −1.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$[y – (−x)] = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2-2x+2}{-x+1}+x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-x+2}{-x+1}$ = 1.

Do đó, đường thẳng y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{-x^2+2x}{{\left(-x+1\right)}^2}$

   y' = 0 ⇔ $\frac{-x^2+2x}{{\left(-x+1\right)}^2}$ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (2; +∞).

Hàm số đồng biến trên các khoảng (0; 1) và (1; 2).

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, y_CT = 2; hàm số đạt cực đại tại x = 2, y_CĐ = −2.

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = 1 làm tiệm cận đứng và y = −x + 1 làm tiệm cận xiên.

Giao của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 2).

Hàm số đi qua các điểm: $\left(-2;\frac{10}{3}\right)$ ; $\left(-1;\frac{5}{2}\right)$ ; (0; 2); (2; −2); $\left(3;\frac{-5}{2}\right)$ .

Ta có đồ thị hàm số:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (1; 0) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

d) y = $\frac{x^2+2x-3}{x+2}$

1) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

2) Sự biến thiên.

Giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và các đường tiệm cận.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ y = +∞, $\underset{x\to -\infty }{\lim }$ y = −∞.

   $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }$ y = +∞, $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }$ y = −∞.

Do đó, đường thẳng x = – 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{y}{x}$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2+2x-3}{\left(x+2\right)x}$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2+2x-3}{x^2+2x}$ = 1.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }$(y – x) = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(\frac{x^2+2x-3}{x+2}-x\right)$ = $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{-3}{x+2}$ = 0.

Do đó, đường thẳng y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y' = $\frac{x^2+4x+7}{{\left(x+2\right)}^2}$ = $1+\frac{3}{{\left(x+2\right)}^2}$ > 0, với ∀x ∈ D.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −2) và (−2; +∞).

3) Đồ thị

Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = − 2 làm tiệm cận đứng và y = x làm tiệm cận xiên.

Giao của đồ thị với trục tung tại điểm $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$ ; giao của đồ thị với trục hoành tại các điểm (1; 0); (−3; 0).

Đồ thị hàm số đi qua các điểm: $\left(0;\frac{-3}{2}\right)$ ; (1; 0); (−3; 0); (−1; −4); (−5; −4); $\left(-4;-\frac{5}{2}\right).$

Ta có đồ thị như sau:

Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (−2; −2) làm tâm đối xứng và nhận phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận đó làm trục đối xứng.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay khác:

• Bài 68 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = 4x³ – 6x² + 1 là đường cong nào trong các đường cong sau? ....

• Bài 69 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = −x³ – x + 2 là đường cong nào trong các đường cong sau? ....

• Bài 70 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = $\frac{2x}{x+1}$ là đường cong nào trong các đường cong sau? ....

• Bài 71 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Đồ thị hàm số y = $\frac{x^2+2x+2}{x+1}$ là đường cong nào trong các đường cong sau? ....

• Bài 72 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 16 là đồ thị của hàm số: ....

• Bài 73 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 17 là đồ thị của hàm số: ....

• Bài 74 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Đường cong ở Hình 18 là đồ thị của hàm số: ....

• Bài 75 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{ax+b}{cx+d}$ với a > 0 có đồ thị là đường cong ở Hình 19 ....

• Bài 76 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị là đường cong ở Hình 20 ....

• Bài 77 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{a{x}^2+bx+c}{x+n}$ có đồ thị là đường cong ở Hình 21 ....

• Bài 78 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số bậc ba y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d có đồ thị là đường cong như Hình 22 ....

• Bài 79 trang 38 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = $\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n}$ với (a, m ≠ 0) có đồ thị là đường cong như Hình 23 ....

• Bài 80 trang 38 SBT Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau: ....

• Bài 82* trang 38 SBT Toán 12 Tập 1: Một máy bay loại nhỏ bắt đầu hạ cánh, đường bay của nó gắn với hệ trục tọa độ Oxy với mô phỏng ở Hình 24 ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1

• SBT Toán 12 Bài 1: Vectơ và các phép toán vectơ trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 2: Toạ độ của vectơ

• SBT Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---