Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$  .

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁ nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để  M₁M₂ nhỏ nhất.

Lời giải:

a) A₁ thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A₁ thuộc hypebol, do đó ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{0^2}{b^2}=1$

⇔ x² = a².

Do hoành độ của A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A₁ và A₂ là: A₁(− a; 0) và A₂(a; 0).

b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. 

Ta cần chứng minh: x² ≥ a² thì yêu cầu của bài toán được giải quyết. 

Giả sử: x² ≥ a²   $\iff \frac{x^2}{a^2}\ge 1$ (chia cả 2 vế cho a²). 

Vì $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ nên  $\frac{x^2}{a^2}=1+\frac{y^2}{b^2}\ge 1$ (do $\frac{y^2}{b^2}\ge 0$)

Do đó: $\frac{x^2}{a^2}\ge 1$ luôn đúng. 

Suy ra x² ≥ a². 

+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x² ≥ a² nên x ≤ − a.

+) Nếu  M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x² ≥ a² nên x ≥ a.

c) Gọi điểm M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x₂ > 0.

Theo câu b ta có: x₁ ≤ − a và x₂ ≥ a nên |x₁| + |x₂| ≥ a + a = 2a.

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ − x₁ = |x₂| + |x₁| ≥ a + a = 2a.

Ta có: M₁M₂ = $\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$; A₁A₂ = $\sqrt{{\left(a-\left(-a\right)\right)}^2+{\left(0-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(2a\right)}^2}$

Lại có: (x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)² ≥ (|x₂| + |x₁|)² + 0 ≥ (2a)².

Nên (M₁M₂)² ≥ (A₁A₂)² 

Suy ra M₁M₂ ≥ A₁A₂.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Vậy để M₁M₂ nhỏ nhất thì M₁ trùng A₁ và M₂ trùng A₂.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài tập cuối chương 7 trang 58, 59 hay, chi tiết khác:

• Bài 7.26 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tham số của đường thẳng? ....

• Bài 7.27 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của đường thẳng? ....

• Bài 7.28 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình của đường tròn? ....

• Bài 7.29 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường elip? ....

• Bài 7.30 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường hypebol? ....

• Bài 7.31 trang 58 Toán 10 Tập 2: Phương rình nào sau đây là phương trình chính tắc của đường parabol? ....

• Bài 7.32 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho A(1; – 1), B(3; 5), C(– 2; 4). Tính diện tích tam giác ABC ....

• Bài 7.33 trang 58 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai điểm A(– 1; 0) và B(3; 1) ....

• Bài 7.34 trang 58 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C) có phương trình x² + y² – 4x + 6y – 12 = 0. ....

• Bài 7.35 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho elip (E)$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ ....

• Bài 7.37 trang 59 Toán 10 Tập 2: Một cột trụ hình hypebol (H.7.36), có chiều cao 6 m, chỗ nhỏ nhất ở chính giữa và rộng 0,8 m, đỉnh cột và đáy cột đều rộng 1 m ....

Các bài học để học tốt Toán 10 Bài tập cuối chương 7:

• Giải SBT Toán 10 Bài tập cuối chương 7

  Xem lời giải

• Tổng hợp lý thuyết Toán 10 Chương 7

  Xem chi tiết

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 7

  Xem chi tiết

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

• Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm

• Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

• Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

• Toán 10 Bài tập cuối chương 8

• Toán 10 Bài 26: Biến cố và định nghĩa cổ điển của xác suất

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---