Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7

Giải sgk Toán 10 Bài tập cuối chương 7

Quảng cáo

Bài 7.36 trang 59 Toán 10 Tập 2: Cho hypebol có phương trình: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

a) Tìm các giao điểm A₁, A₂ của hypebol với trục hoành (hoành độ của A₁nhỏ hơn của A₂).

b) Chứng minh rằng, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên trái trục tung của hypebol thì x ≤ − a, nếu điểm M(x; y) thuộc nhánh nằm bên phải trục tung của hypebol thì x ≥ a.

c) Tìm các điểm M₁, M₂ tương ứng thuộc cách nhánh bên trái, bên phải trục tung của hypebol để M₁M₂ nhỏ nhất.

Lời giải:

a) A₁ thuộc trục hoành nên y = 0, lại có A₁ thuộc hypebol, do đó ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{0^{2}}{b^{2}} = 1$

⇔ x² = a² ⇔ x = ± a.

Do hoành độ của A₁ nhỏ hơn hoành độ của A₂ nên ta xác định được tọa độ của hai điểm A₁ và A₂ là: A₁(− a; 0) và A₂(a; 0).

Quảng cáo

b) Điểm M(x; y) thuộc hypebol nên ta có: $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ .

Ta cần chứng minh: x² ≥ a² thì yêu cầu của bài toán được giải quyết.

Giả sử: x² ≥ a² $\Leftrightarrow \frac{x^{2}}{a^{2}} \geq 1$ (chia cả 2 vế cho a²).

Vì $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ nên $\frac{x^{2}}{a^{2}} = 1 + \frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 1$ (do $\frac{y^{2}}{b^{2}} \geq 0$ )

Do đó: $\frac{x^{2}}{a^{2}} \geq 1$ luôn đúng.

Suy ra x² ≥ a².

+) Nếu M thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol thì hoành độ x < 0 mà x² ≥ a²nên x ≤ − a.

+) Nếu M thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol thì hoành độ x > 0 mà x² ≥ a²nên x ≥ a.

c) Gọi điểm M₁(x₁; y₁) thuộc nhánh bên trái trục tung của hypebol nên hoành độ x₁ < 0, M₂(x₂; y₂) thuộc nhánh bên phải trục tung của hypebol nên hoành độ x₂ > 0.

Theo câu b ta có: x₁ ≤ − a và x₂ ≥ a nên |x₁| + |x₂| ≥ a + a = 2a.

Quảng cáo

Do x₁ < 0 và x₂ > 0 nên x₂ − x₁ = |x₂| + |x₁| ≥ a + a = 2a.

Ta có: M₁M₂ = $\sqrt{{(x_{2} - x_{1})}^{2} + {(y_{2} - y_{1})}^{2}}$ ; A₁A₂ = $\sqrt{{(a - (- a))}^{2} + {(0 - 0)}^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2}}$