Giải Toán 10 trang 47 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 47 Tập 2 trong Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 47.

Giải Toán 10 trang 47 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 7.13 trang 47 Toán 10 Tập 2: Tìm tâm và bán kính của đường tròn

(x + 3)² + (y – 3)² = 36. 

Lời giải:

Ta viết phương trình đường tròn đã cho về dạng: (x – (– 3))² + (y – 3)² = 6². 

Do đó đường tròn này có tâm I(– 3; 3) và bán kính R = 6. 

Bài 7.14 trang 47 Toán 10 Tập 2: Hãy cho biết phương trình nào dưới đây là phương trình của một đường tròn và tìm tâm, bán kính của đường tròn tương ứng. 

a) x² + y² + xy + 4x – 2 = 0; 

b) x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0; 

c) x² + y² + 6x – 8y + 1 = 0. 

Lời giải:

a) Phương trình x² + y² + xy + 4x – 2 = 0 không có dạng x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với a, b, c là các số thực nên đây không phải phương trình đường tròn. 

b) x² + y² – 2x – 4y + 5 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . 1 . x – 2 . 2 . y + 5 = 0.

Các hệ số: a = 1, b = 2, c = 5. 

Ta có: a² + b² – c = 1² + 2² – 5 = 0 nên đây cũng không phải phương trình đường tròn. 

c) x² + y² + 6x – 8y + 1 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . (– 3) . x – 2 . 4 . y + 1 = 0.

Các hệ số: a = – 3, b = 4, c = 1. 

Ta có: a² + b² – c = (– 3)² + 4² – 1 = 24 > 0 nên đây là phương trình đường tròn. 

Đường tròn này có tâm I(– 3; 4) và bán kính R =$\sqrt{24}$ = $2\sqrt{6}$

Bài 7.15 trang 47 Toán 10 Tập 2: Viết phương trình của đường tròn trong mỗi trường hợp sau: 

a) Có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7; 

b) Có tâm I(1; – 2) và đi qua điểm A(– 2; 2);

c) Có đường kính AB, với A(– 1; – 3), B(– 3; 5); 

d) Có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng x + 2y + 3 = 0.

Lời giải:

a) Đường tròn có tâm I(– 2; 5) và bán kính R = 7 có phương trình là 

(x – (–2))² + (y – 5)² = 7² hay (x + 2)² + (y – 5)² = 49. 

b) Đường tròn có tâm I và đi qua điểm A nên bán kính đường tròn là IA. 

Ta có: IA = $\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left(2-\left(-2\right)\right)}^2}$ = 5. 

Do đó phương trình đường tròn là: (x – 1)² + (y – (– 2))² = 5² 

Hay (x – 1)² + (y + 2)² = 25. 

c) Đường tròn có đường kính AB thì tâm của đường tròn này là trung điểm của AB.

Tọa độ trung điểm I của AB là I$\left(\frac{\left(-1\right)+\left(-3\right)}{2};\frac{\left(-3\right)+5}{2}\right)$ hay I(– 2; 1).

Ta có: AB = $\sqrt{{\left(-3-\left(-1\right)\right)}^2+\left(5-{\left(-3\right)}^2\right)}$ = $2\sqrt{17}$.

Bán kính của đường tròn đường kính AB là R = $\frac{AB}{2}=\frac{2\sqrt{17}}{2}=\sqrt{17}$.

Khi đó phương trình đường tròn đường kính AB là:

${\left(x-\left(-2\right)\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2={\left(\sqrt{17}\right)}^2$ hay (x + 2)² + (y – 1)² = 17.

d) Đường tròn (C) có tâm I(1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + 2y + 3 = 0 thì khoảng cách từ tâm I đến ∆ chính bằng bán kính của (C).

Ta có: R = d(I, ∆) = $\frac{\left|1+2.3+3\right|}{\sqrt{1^2+2^2}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}$.

Vậy phương trình đường tròn (C) là:

${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2={\left(2\sqrt{5}\right)}^2$ hay (x – 1)² + (y – 3)² = 20.

Bài 7.16 trang 47 Toán 10 Tập 2: Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC, với A(6; – 2), B(4; 2), C(5; –5). Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. 

Lời giải:

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. 

Các đoạn thẳng AB, BC tương ứng có trung điểm là M(5; 0), N$\left(\frac{9}{2};\frac{-3}{2}\right)$. 

Đường thẳng trung trực d₁ của đoạn thẳng AB đi qua điểm M(5; 0) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{AB}=\left(-2;4\right)$. 

Vì $\overrightarrow{AB}=\left(-2;4\right)$ cùng phương với $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ nên d₁ cũng nhận $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến. Do đó, phương trình của d₁ là: 1(x – 5) – 2(y – 0) = 0 hay x – 2y – 5 = 0. 

Đường thẳng trung trực d₂ của đoạn thẳng BC đi qua N$\left(\frac{9}{2};\frac{-3}{2}\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{BC}=\left(1;-7\right)$ , do đó phương trình d₂ là:$1\left(x-\frac{9}{2}\right)-7\left(y+\frac{3}{2}\right)=0$ hay x – 7y – 15 = 0. 

Tâm I của đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC cách đều ba điểm A, B, C nên I là giao điểm của d₁ và d₂. 

Vậy tọa độ của I là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-2y-5=0\\ x-7y-15=0\end{array}\right.$. 

Suy ra I(1; – 2). Đường tròn (C) có bán kính là IA = $\sqrt{{\left(6-1\right)}^2+{\left(-2-\left(-2\right)\right)}^2}=5$.

Vậy phương trình của (C) là: (x – 1)² + (y + 2)² = 25.

Bài 7.17 trang 47 Toán 10 Tập 2: Cho đường tròn (C): x² + y²+ 2x – 4y + 4  = 0. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2).  

Lời giải:

Ta có: x² + y² + 2x – 4y + 4 = 0 ⇔ x² + y² – 2 . (– 1) . x – 2 . 2 . y + 4 = 0.

Các hệ số: a = – 1, b = 2, c = 4. 

Khi đó đường tròn (C) có tâm I(– 1; 2). 

Do 0² + 2² + 2 . 0 – 4 . 2 + 4 = 0 nên điểm M(0; 2) thuộc (C). 

Tiếp tuyến d của (C) tại điểm M(0; 2) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{IM}=\left(0+1;2-2\right)=\left(1;0\right)$, nên có phương trình d: 1(x – 0) + 0(y – 2) = 0 hay d: x = 0. 

Bài 7.18 trang 47 Toán 10 Tập 2: Chuyển động của một vật thể trong khoảng thời gian 180 phút được thể hiện trong mặt phẳng tọa độ. Theo đó, tại thời điểm t (0 ≤ t ≤ 180) vật thể ở vị trí có tọa độ (2 + sint°; 4 + cost°). 

a) Tìm vị trí ban đầu và vị trí kết thúc của vật thể. 

b) Tìm quỹ đạo chuyển động của vật thể. 

Lời giải:

a) Vị trí ban đầu của vật thể là tại thời điểm t = 0, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 

(2 + sin0°; 4 + cos0°) = (2; 5).

Vị trí kết thúc của vật thể là tại thời điểm t = 180, nên tọa độ của điểm ở vị trí này là: 

(2 + sin 180°; 4 + cos 180°) = (2; 3).

b) Gọi điểm M(x; y) thuộc vào quỹ đạo chuyển động của vật thể.

Ta có: x = 2 + sin t°và y = 4 + cost°.

Suy ra: x – 2 = sin t° và y – 4 = cost°.

Mà sin² t° + cos² t° = 1     (0 ≤ t ≤ 180)

Do đó ta có: (x – 2)² + (y – 4)² = 1.

Vậy vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4) và bán kính R = 1.

Vị trí ban đầu của vật thể là A(2; 5), vị trí kết thúc của vật thể là B(2; 3).

Ta có $\frac{2+2}{2}=2;\frac{5+3}{2}=4$ nên I là trung điểm của AB

Và $\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{\left(2-2\right)}^2+{\left(3-5\right)}^2}}{2}=\frac{2}{2}=1=R$.

Do đó vật thể chuyển động trên đường tròn có tâm I(2; 4), bán kính R = 1 và nhận AB làm đường kính.

Khi t thay đổi trên đoạn [0; 180] thì sin t° thay đổi trên đoạn [0; 1] và cos t° thay đổi trên đoạn [– 1; 1]. Do đó 2 + sin t° ∈ [2; 3] và 4 + cos t° ∈ [3; 5].

Vậy quỹ đạo của vật thể (hay là tập hợp điểm M) là nửa đường tròn đường kính AB vẽ trên nửa mặt phẳng chứa điểm C(3; 0), bờ AB.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ hay khác:

• Giải Toán 10 trang 43

• Giải Toán 10 trang 44

• Giải Toán 10 trang 45

• Giải Toán 10 trang 46

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài 22: Ba đường conic

• Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm

• Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

• Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---