Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 trong Bài 22: Ba đường conic Toán 10 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 10 dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 51.

Giải Toán 10 trang 51 Tập 2 Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 51 Toán 10 Tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD và M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD (H.7.25). Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

Lời giải:

Do ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD. 

Vì M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD nên AM = BM = $\frac{1}{2}$AB và CN = DN = $\frac{1}{2}$CD. 

Do đó ta có: BM = CN = AM = DN  (*). 

Khi đó BM // = ND nên BMDN là hình bình hành, suy ra BN = MD (1). 

Tương tự AN = CM (2). 

Hơn nữa ta chứng minh được BMNC là hình chữ nhật nên hai đường chéo BN và MC bằng nhau hay BN = MC (3). 

Từ (1), (2) và (3) suy ra: BN = CM = AN = DM (**).

Từ (*) và (**) ta có: |BN – BM| = |CN – CM| = |AN – AM| = |DN – DM| < MN (bất đẳng thức tam giác).

Vậy A, B, C, D cùng thuộc một hypebol có hai tiêu điểm là M và N.

HĐ4 trang 51 Toán 10 Tập 2: Xét một hypebol (H) với các kí hiệu như trong định nghĩa. Chọn hệ trục Oxy có gốc O là trung điểm của F₁F₂, tia Ox trùng tia OF₂ (H.7.26). Nêu tọa độ của các tiêu điểm F₁, F₂. Giải thích vì sao điểm M(x; y) thuộc (H) khi và chỉ khi

$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$. (3)

Lời giải:

+) Vì F₁F₂ = 2c, mà O là trung điểm của F₁F₂. 

Do đó ta có: F₁O = F₂O = 2c : 2 = c. 

Quan sát hình ta thấy, điểm F₁ thuộc trục Ox, nằm bên trái điểm O và cách O một khoảng bằng F₁O nên tọa độ F₁(– c; 0). 

Điểm F₂ thuộc trục Ox, nằm bên phải điểm O và cách O một khoảng bằng F₂O nên tọa độ F₂(c; 0). 

Vậy tọa độ các tiêu điểm: F₁(– c; 0) và F₂(c; 0).

+) Giả sử M(x; y) thuộc hypebol (H) ta cần chứng minh: 

$\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

Thật vậy, M thuộc hypebol (H) nên: |MF₁ – MF₂|= 2a.

Lại có: MF₁ = $\sqrt{{\left(x-\left(-c\right)\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}$; 

MF₂ = $\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+{\left(y-0\right)}^2}=\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}$.

⇒ |MF₁ – MF₂| = $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

Vậy $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}+\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$.

+) Giả sử $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$, ta cần chứng minh M thuộc hypebol (H). 

Thật vậy: $\left|\sqrt{{\left(x+c\right)}^2+y^2}-\sqrt{{\left(x-c\right)}^2+y^2}\right|=2a$ nên: |MF₁ – MF₂|= 2a.

Vậy M thuộc hypebol (H).

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 22: Ba đường conic hay khác:

• Giải Toán 10 trang 48

• Giải Toán 10 trang 49

• Giải Toán 10 trang 50

• Giải Toán 10 trang 52

• Giải Toán 10 trang 53

• Giải Toán 10 trang 56

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 10 Bài tập cuối chương 7

• Toán 10 Bài 23: Quy tắc đếm

• Toán 10 Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

• Toán 10 Bài 25: Nhị thức Newton

• Toán 10 Bài tập cuối chương 8

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---