Giải Toán 11 trang 24 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 11 trang 24 Tập 1 trong Bài 3: Các công thức lượng giác Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 24.

Giải Toán 11 trang 24 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 24 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) sin$\alpha$ = $\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$;

b) sin$\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <2\pi$.

Lời giải:

a) Ta có: (vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$).

Khi đó:

b) Ta có:

Khi đó:

Bài 4 trang 24 Toán 11 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2}$sin$\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ - cos$\alpha$;

b) (cos$\alpha$ + sin$\alpha$)² - sin2$\alpha$.

Lời giải:

a) $\sqrt{2}$sin$\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)$ - cos$\alpha$

= sin$\alpha$ + cos$\alpha$ - cos$\alpha$

= sin$\alpha$.

b) (cos$\alpha$ + sin$\alpha$)² - sin2$\alpha$

= cos^2$\alpha$ + sin²$\alpha$ + 2sin$\alpha$cos$\alpha$ - 2sin$\alpha$cos$\alpha$

= 1

Bài 5 trang 24 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $\text{cos}2\alpha =\frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$;

b) $\sin 2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\text{cos}2\alpha =2{\text{cos}}^2\alpha -1=\frac{2}{5}$

$\iff {\text{cos}}^2\alpha =\frac{7}{10}$

$\iff \text{cos}\alpha =\frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$).

Mặt khác $\text{cos}2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =\frac{2}{5}$

$\iff {\sin }^2\alpha =\frac{3}{10}$

$\iff \sin \alpha =-\frac{\sqrt{30}}{100}$ (vì $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$).

Khi đó:

b) $\sin 2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$.

Ta có $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}\iff \pi <2\alpha <\frac{3\pi }{2}$

Ta có: $\text{cos}2\alpha =2{\text{cos}}^2\alpha -1=-\frac{\sqrt{65}}{9}$

$\iff {\text{cos}}^2\alpha =\frac{9-\sqrt{65}}{18}$

$\iff \text{cos}\alpha =\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$).

Mặt khác $\text{cos}2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =-\frac{\sqrt{65}}{9}$

$\iff {\sin }^2\alpha =\frac{\sqrt{65}+1}{18}$

$\iff \sin \alpha =\frac{\sqrt{65}+1}{18}$ (vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$).

Khi đó:

Bài 6 trang 24 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có sinA = sinB.cosC + sinC.cosB.

Lời giải:

Xét tam giác ABC, có:

A + B + C = 180° ⇒ A = 180° – (B + C)

sinA = sin(180° – (B + C)) = sin(B + C) = sinB.cosC + sinC.cosB.

Bài 7 trang 24 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thỏa mãn $\widehat{CAD}=30°$. Tính tan$\widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Lời giải:

Xét tam giác ABC vuông tại B có:

tan$\widehat{BAC}=\frac{3}{4}$.

Ta lại có: $\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+\widehat{CAD}$

Xét tam giác ABD vuông tại B có:

$\tan \widehat{BAD}=\frac{BD}{AB}\Rightarrow BD=\tan \widehat{BAD}.AB=2,34.4\approx 9,36$.

⇒ CD = BD – BC ≈ 9,36 – 3 = 6,36.

Bài 8 trang 24 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I, A, M thẳng hàng. Cho α là góc quay của trục khuỷu, O là vị trí của pít – tông khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8cm, viết công thức tính tọa độ x_M của điểm M trên trục Ox theo α.

b) Ban đầu α = 0. Sau 1 phút chuyển động, x_M = – 3cm. Xác định x_M sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Lời giải:

Tại $\alpha =\frac{\pi }{2}$ thì H trùng I, M trùng O nên MH = OI do đó OM = IH.

Xét tam giác AHI vuông tại H có: IH = cosα.IA = 8cosα.

Bài 9 trang 24 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là α.

a) Tính sinα và cosα.

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP) từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

Lời giải:

a) Tính sinα và cosα

Từ điểm M kẻ MH vuông góc với Ox, MK vuông góc với Oy.

Ta có: MH = 60 – 30 = 30 m.

Khi đó hoành độ điểm M là 30.

Mặt khác hoành độ điểm M là: x_M = 31.cosα.

⇒ cosα = $\frac{30}{31}$

⇒ $\sin \alpha =-\sqrt{1-{\left(\frac{30}{31}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{61}}{31}$.

b) Vì các cánh quạt tạo thành 3 góc bằng nhau nên $\widehat{MOP}=\widehat{NOP}=\widehat{MON}=120°$

Vì vậy chiều cao của điểm P so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.

Ta có: $\text{cos}\widehat{AOP}\approx \sqrt{1-0,{96}^2}=0,28$.

Ta có: $\widehat{AON}=\widehat{AOP}+\widehat{PON}$

Vì vậy chiều cao của điểm N so với mặt đất khoảng: 31.sinα + 60 = 89,76 m.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Các công thức lượng giác hay khác:

• Giải Toán 11 trang 20

• Giải Toán 11 trang 21

• Giải Toán 11 trang 22

• Giải Toán 11 trang 23

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 4: Hàm số lượng giác và đồ thị

• Toán 11 Bài 5: Phương trình lượng giác cơ bản

• Toán 11 Bài tập cuối chương 1

• Toán 11 Bài 1: Dãy số

• Toán 11 Bài 2: Cấp số cộng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---