Giải Toán 11 trang 86 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 11 trang 86 Tập 1 trong Bài tập cuối chương 3 Toán 11 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 trang 86.

Giải Toán 11 trang 86 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\lim \frac{3n-1}{n}$;

b) $\lim \frac{\sqrt{n^2+2}}{n}$;

c) $\lim \frac{2}{3n+1}$;

d) $\lim \frac{(n+1)\left(2n+2\right)}{n^2}$.

Lời giải:

a) $\lim \frac{3n-1}{n}=\lim \frac{3-\frac{1}{n}}{1}=3$.

b) $\lim \frac{\sqrt{n^2+2}}{n}=\lim \frac{\sqrt{1+\frac{2}{n^2}}}{1}=1$.

c) $\lim \frac{2}{3n+1}=\lim \frac{\frac{2}{n}}{3+\frac{1}{n}}=0$.

d) $\lim \frac{(n+1)\left(2n+2\right)}{n^2}=\lim \frac{2n^2+4n+2}{n^2}=\lim \frac{2+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}}{1}=2$.

Bài 7 trang 86 Toán 11 Tập 1: Cho tam giác đều có cạnh bằng a, gọi là tam giác H₁. Nỗi các trung điểm của H₁ để tạo thành tam giác H₂. Tiếp theo, nối các trung điểm của H₂ để tạo thành tam giác H₃ (Hình 1). Cứ tiếp tục như vậy, nhận được dãy tam giác H₁, H₂, H₃, ...

Tỉnh tổng chu vi và tổng diện tích của các tam giác của dãy.

Lời giải:

Ta có:

Diện tích tam giác H₁ = S và chu vi tam giác H₁ = 3a;

Diện tích tam giác H₂ = $\frac{1}{4}$S và chu vi tam giác H₂ = $\frac{1}{2}$3a;

Diện tích tam giác H₂ = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$S và chu vi tam giác H₃ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$3a;

...

Diện tích tam giác H_n = ${\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$S và chu vi tam giác H₂ = ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$3a;

Khi đó:

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = S và công bội q = $\frac{1}{4}$ có tổng bằng $S+\frac{1}{4}S+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{2}S+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{4}\right)}^{n-1}S+\mathrm{...}=\frac{S}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}S$.

Diện tích của dãy các tam giác H₁; H₂; H₃; ...; H₄ lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số hạng đầu tiên u₁ = 3a và công bội q = $\frac{1}{2}$ có tổng bằng

$3a+\frac{1}{2}.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.3a+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3.3a+\mathrm{...}+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}3a+\mathrm{...}=\frac{3a}{1-\frac{1}{2}}=6a$.

Bài 8 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x^2-x+2\right)$;

b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x-4}$;

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1}{\lim }\left(3x^2-x+2\right)=6$.

b) $\underset{x\to 4}{\lim }\frac{x^2-16}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{x-4}=\underset{x\to 4}{\lim }\left(x+4\right)=8$.

c) $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+7}}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\frac{\left(2-x\right)\left(3+\sqrt{x+7}\right)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }\left(-3-\sqrt{x+7}\right)=-6$.

Bài 9 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x+2}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{2}{x}}{1+\frac{1}{x}}=-1$.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x-2}{x^2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}{1}=0$.

Bài 10 trang 86 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}$;

b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1}{x-4}=+\infty$.

b) $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x}{2-x}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }x.\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{2-x}=+\infty$.

Bài 11 trang 86 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = .

Lời giải:

+) Với x ∈ (0; + ∞) ta có f(x) = $\sqrt{x+4}$ liên tục.

+) Với x ∈ (– ∞; 0) ta có f(x) = 2cosx liên tục.

+) Tại x = 0, ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\sqrt{x+4}=2$;

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(2\cos x\right)=2$.

Suy ra $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=2=f\left(0\right)$

Do đó hàm số liên tục tại x = 0.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

Bài 12 trang 86 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

+) Với mọi x ≠ 5 thì f(x) = $\frac{x^2-25}{x-5}$ liên tục.

+) Tại x = 5, ta có:

$\underset{x\to 5}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\left(x+5\right)=10$.

f(5) = a

Để hàm số liên tục trên ℝ thì hàm số phải liên tục tại x = 5 khi a = 10.

Bài 13 trang 86 Toán 11 Tập 1: Trong một tủ thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10°C, mỗi phút tăng 2°C trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút 3°C trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo ºC) trong tủ theo thời gian t (tính theo phút) có dạng

T(t) = (k là hằng số).

Biết rằng T(t) là hàm liên tục trên tập xác đinh. Tìm giá trị của k.

Lời giải:

+) Với 0 ≤ t < 60 thì T(t) = 10 + 2t là hàm số liên tục.

+) Với 60 < t ≤ 100 thì T(t) = k – 3t là hàm số liên tục.

+) Tại t = 60, ta có:

$\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(10+2t\right)=130$

$\underset{t\to {60}^{+}}{\lim }T\left(t\right)=\underset{t\to {60}^{-}}{\lim }\left(k-3t\right)=k-180$

Để hàm số liên tục trên tập xác định [0; 100] thì hàm số liên tục tại x = 60

⇔ k – 180 = 130

⇔ k = 240.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 3 hay khác:

• Giải Toán 11 trang 85

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Toán 11 Bài 3: Cấp số nhân

• Toán 11 Bài tập cuối chương 2

• Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

• Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

• Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---