Giải Toán 12 trang 16 Tập 2 Cánh diều

Với Giải Toán 12 trang 16 Tập 2 trong Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp Toán 12 Tập 2 Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 16.

Giải Toán 12 trang 16 Tập 2 Cánh diều

Bài 4 trang 16 Toán 12 Tập 2: Nguyên hàm của hàm số f(x) = 1 – tan² x bằng:

A. 2 – tan x + C.

B. 2x – tan x + C.

C. $x-\frac{{\tan }^{3}x}{3}+C$.

D. – 2 tan x + C.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\int \left(1-{\tan }^{2}x\right)dx=\int \left[2-\left(1+{\tan }^{2}x\right)\right]dx$$=\int \left(2-\frac{1}{{\cos }^{2}x}\right)dx$

$=\int 2dx-\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx$= 2x – tan x + C.

Bài 5 trang 16 Toán 12 Tập 2: Tìm:

Lời giải:

Bài 6 trang 16 Toán 12 Tập 2: Tìm:

Lời giải:

Bài 7 trang 16 Toán 12 Tập 2: Cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm. Tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua sau khi trồng được cho bởi hàm số

v(t) = – 0,1t³ + t²,

trong đó t tính theo tuần, v(t) tính bằng centimét/tuần. Gọi h(t) (tính bằng centimét) là độ cao của cây cà chua ở tuần thứ t (Nguồn: A. Bigalke et aL, Mathematik, Grundkurs ma-1, Cornelsen 2016).

a) Viết công thức xác định hàm số h(t) (t ≥ 0).

b) Giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài bao lâu?

c) Chiều cao tối đa của cây cà chua đó là bao nhiêu centimét?

d) Vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao bao nhiêu centimét?

Lời giải:

a) Hàm số h(t) là một nguyên hàm của hàm số v(t).

Ta có $\int v\left(t\right)dt=\int \left(-0,1t^3+t^2\right)dt=-0,1\int t^{3}dt+\int t^{2}dt=-0,025t^4+\frac{t^3}{3}+C$ .

Suy ra $h\left(t\right)=-0,025t^4+\frac{t^3}{3}+C$ .

Vì cây cà chua khi trồng có chiều cao 5 cm nên h(0) = 5, suy ra C = 5.

Vậy công thức xác định hàm số h(t) là: $h\left(t\right)=-0,025t^4+\frac{t^3}{3}+5\left(t\ge 0\right)$ .

b) Xét hàm số $h\left(t\right)=-0,025t^4+\frac{t^3}{3}+5\left(t\ge 0\right)$ .

Ta có h'(t) = v(t) = – 0,1t³ + t²; h'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = 10.

Bảng biến thiên của hàm số h(t) trên [0; + ∞) như sau:

Từ bảng biến thiên ta thấy giai đoạn tăng trưởng của cây cà chua đó kéo dài 10 tuần.

c) Từ bảng biến thiên ở câu b, ta thấy chiều cao tối đa của cây cà chua đó là $\frac{265}{3}$  cm.

d) Xét hàm tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua: v(t) = – 0,1t³ + t² (t ≥ 0).

Ta có v'(t) = – 0,3t² + 2t; v'(t) = 0 khi t = 0 hoặc t = $\frac{20}{3}$ .

Bảng biến thiên của hàm số v(t) trên [0; + ∞) như sau:

Từ bảng biến thiên ta suy ra vào thời điểm cây cà chua đó phát triển nhanh nhất thì cây cà chua cao $\frac{400}{27}$ cm.

Bài 8 trang 16 Toán 12 Tập 2: Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi P(t) là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t, trong đó t tính theo ngày (0 ≤ t ≤ 10). Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số P'(t) = $k\sqrt{t}$, trong đó k là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Lời giải:

Hàm số P(t) là một nguyên hàm của hàm số P'(t).

Ta có $\int P^{\text{'}}\left(t\right)dt=\int k\sqrt{t}dt=k\int t^{\frac{1}{2}}dt=\frac{2k}{3}\cdot t^{\frac{3}{2}}+C=\frac{2k}{3}t\sqrt{t}+C$ .

Suy ra $P\left(t\right)=\frac{2k}{3}t\sqrt{t}+C$ .

Quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn nên với t = 0 thì P = 500 hay P(0) = 500, suy ra $\frac{2k}{3}\cdot 0\cdot \sqrt{0}+C=500$ , do đó C = 500.

Suy ra $P\left(t\right)=\frac{2k}{3}t\sqrt{t}+500$ .

Vì sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn, tức là khi t = 1 thì P = 600, hay P(1) = 600, suy ra $\frac{2k}{3}\cdot 1\cdot \sqrt{1}+500=600$ , do đó k = 150.

Khi đó, công thức tính số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm t là:

$P\left(t\right)=\frac{2\cdot 150}{3}t\sqrt{t}+500=100t\sqrt{t}+500\left(0\le t\le 10\right)$.

Vậy số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là:

$P\left(7\right)=100\cdot 7\sqrt{7}+500\approx 2352$(vi khuẩn).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp hay khác:

• Giải Toán 12 trang 9
• Giải Toán 12 trang 10
• Giải Toán 12 trang 11
• Giải Toán 12 trang 12
• Giải Toán 12 trang 15

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 3: Tích phân

• Toán 12 Bài 4: Ứng dụng hình học của tích phân

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Chủ đề 2: Thực hành tạo đồng hồ Mặt Trời

• Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---