Hình chữ nhật – Hình vuông (Lý thuyết Toán lớp 8) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 8 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Hình chữ nhật – Hình vuông (Lý thuyết Toán lớp 8) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hình chữ nhật – Hình vuông

1. Hình chữ nhật

1.1. Định nghĩa hình chữ nhật

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông.

Hình chữ nhật ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$.

1.2. Tính chất của hình chữ nhật

Nhận xét: Hình chữ nhật cũng là hình thang cân và cũng là hình bình hành nên có tất cả các tính chất của hình thang cân, hình bình hành.

Định lí:

Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Ví dụ 1. Cho hình chữ nhật ABCD, AC cắt BD tại L. Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau có trong hình.

Hướng dẫn giải

Hình chữ nhật ABCD có:

– Các cặp cạnh đối bằng nhau: AD = BC; AB = CD.

– Hai đường chéo bằng nhau nên: AC = BD.

– Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên: LA = LC = LB = LD.

1.3. Dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật

Ta có các dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình chữ nhật như sau:

(1) Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

(2) Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.

Chú ý:

– Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

– Hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật.

Ví dụ 2. Cho tam giác BAD có đường trung tuyến AE (E ∈ BD) sao cho $AE=\frac{1}{2}BD$. Trên tia đối của tia EA lấy điểm C sao cho EC = EA. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABD có đường trung tuyến AE nên E là trung điểm của BD.

Lại có EC = EA nên E là trung điểm của AC.

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E là trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có $AE=\frac{1}{2}BD$ và $AE=\frac{1}{2}AC$ nên BD = AC

Hình bình hành ABCD có hai đường chéo BD và AC bằng nhau nên là hình chữ nhật.

2. Hình vuông

2.1. Định nghĩa hình vuông

Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và bốn cạnh bằng nhau.

Hình vuông ABCD có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}=\hat{D}=90°$và AB = BC = CD = DA.

2.2. Tính chất của hình vuông

Tính chất: Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD, AC cắt BD tại E. Hãy chỉ ra các đoạn thẳng bằng nhau trong hình.

Hướng dẫn giải

Vì hình vuông có đầy đủ các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi nên ta có:

– Bốn cạnh bằng nhau: AB = BC = CD = AD.

– Hai đường chéo bằng nhau: AC = BD.

– Hai đường chéo giao nhau tại trung điểm mỗi đường: EA = EC = EB = ED.

2.3. Dấu hiệu nhận biết hình vuông

Ta có dấu hiệu nhận biết một tứ giác là hình vuông như sau:

(1) Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.

(2) Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

(3) Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình vuông.

Chú ý:

– Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

– Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau là hình vuông.

Ví dụ 4. Trong các hình chữ nhật dưới đây hình nào là hình vuông? Hình chữ nhật nào không phải là hình vuông? Tại sao?

Hướng dẫn giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết hình vuông ta có:

– Hình chữ nhật ABCD có đường chéo AC vuông góc với BD tại E nên là hình vuông.

– Hình chữ nhật FIGH có $\widehat{GFH}=\widehat{HFI}$hay đường chéo FH là đường phân giác của $\widehat{GFI}$nên hình chữ nhật FIGH là hình vuông.

– Hình chữ nhật JKLM có JK ≠ JM. Vì hai cạnh kề JK và JM không bằng nhau nên hình chữ nhật JKLM không phải là hình vuông.

– Hình chữ nhật ONQP có hai cạnh kề nhau ON = QN nên là hình vuông.

Bài tập Hình chữ nhật – Hình vuông

Bài 1.Cho tam giác ADC vuông tại D có đường trung tuyến DE (E ∈ AC). Trên tia đối của tia ED lấy điểm B sao cho EB = ED.

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Tại sao?

b) Biết AD = 5 dm, DC = 4 dm. Tính chu vi tứ giác ABCD.

Hướng dẫn giải

a) Vì DE là đường trung tuyến của tam giác ADC nên E là trung điểm của AC

Vì EB = ED nên E là trung điểm của BD

Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành.

Theo giả thiết, ta có $\widehat{ADC}=90°$nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật.

b) Chu vi hình chữ nhật ABCD là: (5 + 4) . 2 = 18 (dm).

Bài 2.Cho $\widehat{xOy}=90°$ và tia phân giác Om. Lấy điểm A bất kì trên tia Om. Kẻ AB, AC lần lượt vuông góc với Ox, Oy. Chứng minh OBAC là hình vuông.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB ⊥ Ox, AC ⊥ Oy nên $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90°$ .

Lại có $\widehat{xOy}=90°$ nên tứ giác OBAC có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Mà A nằm trên tia phân giác Om của $\widehat{xOy}$ nên OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$

Do đó hình chữ nhật OBAC là hình vuông.

Bài 3. Cho hình vuông FIHG. Trên các cạnh FI, IH, HG, GF lần lượt lấy các điểm J, M, N, K sao cho FJ = IM = HN = GK.

a) Chứng minh các tam giác KFJ, JIM, MHN và KNG bằng nhau.

b) Tứ giác KJMN là hình gì? Tại sao?

Hướng dẫn giải

a) Vì FIHG là hình vuông nên $\widehat{KFI}=\widehat{FIH}=\widehat{IHG}=\widehat{HGK}=90°$ và FI = IH = HG = GF (1)

Theo giả thiết: FJ = IM = HN = GK (2)

Từ (1) và (2) suy ra: JI = MH = NG = KF

Xét ∆KFJ và ∆JIM có:

$\widehat{KFJ}=\widehat{JIM}=90°$

FJ = IM (giả thiết);

KF = JI (chứng minh trên)

Do đó DKFJ = DJIM (hai cạnh góc vuông)

Chứng minh tương tự ta cũng có:

∆JIM = ∆MHN; ∆MHN = ∆NGK (hai cạnh góc vuông).

Vậy ∆KFJ = ∆JIM = ∆MHN = ∆NGK.

b) Theo câu b, ∆KFJ = ∆JIM nên KJ = JM (hai cạnh tương ứng).

Tương tự, JM = MN, MN = NK

Suy ra KJ = JM = MN = KN.

Do đó tứ giác KJMN là hình thoi.

Do DKFJ = DJIM (theo câu b) nên $\widehat{JKF}=\widehat{MJI}$ (hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{KJF}+\widehat{JKF}=90°$ (hai góc nhọn trong tam giác vuông KFJ)

Suy ra $\widehat{KJF}+\widehat{MJI}=90°$

Lại có $\widehat{KJF}+\widehat{KJM}+\widehat{MJI}=180°$ , nên $\widehat{KJM}=90°$

Hình thoi KJMN có nên là hình vuông.

Bài 4. Cho DABC nhọn có AB < AC. Gọi N là trung điểm của AC. Lấy điểm D trên tia BN sao cho ND = NB.

a) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

b) Kẻ AP ⊥ BC, CQ ⊥ AD. Chứng minh P, N, Q thẳng hàng.

c) DABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABCD là hình vuông?

Hướng dẫn giải

a) Tứ giác ACBD có hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên là hình bình hành.

b) Ta có: AP ⊥ BC, AQ // BC (do ACBD là hình bình hành)

Suy ra AP ⊥ AQ.

Tứ giác APCQ có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo AC, PQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà N là trung điểm của AC nên N là trung điểm của PQ

Do đó P, N, Q thẳng hàng.

c) Để tứ giác ABCD là hình vuông thì cần AB ⊥ BC, AB = BC

Hay DABC vuông cân tại B.

Học tốt Hình chữ nhật – Hình vuông

Các bài học để học tốt Hình chữ nhật – Hình vuông Toán lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay khác:

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 3

• Lý thuyết Toán 8 Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

• Lý thuyết Toán 8 Bài 2: Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

• Lý thuyết Toán 8 Bài 3: Phân tích dữ liệu

• Tổng hợp lý thuyết Toán 8 Chương 4

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

• Giải sgk Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 8 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 8 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 8 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 8 Cánh diều (các môn học)

---