13 Bài tập Định lí Viète và ứng dụng (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Đáp án: B

Định lí Viète: Nếu $x_1;x_2$ là hai nghiệm của phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$ thì

Đáp án: B

Xét phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$.

Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=1$, còn nghiệm kia là $x_2=\frac{c}{a}.$

Đáp án: C

Xét phương trình $a{x}^2+bx+c=0\left(a\ne 0\right)$.

Nếu $a-b+c=0$ thì phương trình có một nghiệm là $x_1=-1$, còn nghiệm kia là $x_2=-\frac{c}{a}.$

Đáp án: B

Nếu hai số có tổng bằng $S$ và tích bằng $P$ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình bậc hai $x^2-Sx+P=0.$

Điều kiện để có hai số đó là $S^2-4P\ge 0$

Đáp án: A

Theo định lí Viète, ta có: $x_1+x_2=3;x_1{x}_2=2.$

Đáp án: A

Phương trình $x^2-3x+2=0$ có $a=1;b=-3;c=2$.

Ta có $a+b+c=1+\left(-3\right)+2=0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm: $x_1=1;x_2=2.$

Đáp án: A

Phương trình $\sqrt{2}{x}^2+x-\sqrt{2}+1=0$ có $a=\sqrt{2};b=1;c=-\sqrt{2}+1$.

Ta có $a-b+c=\sqrt{2}-1+\left(-\sqrt{2}+1\right)=0$ nên phương trình có hai nghiệm: $x_1=-1;x_2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}.$

Đáp án: A

Xét điều kiện để có hai số đó là ${\left(-6\right)}^2-4\cdot \left(-8\right)=78>0$ (thỏa mãn).

Vậy hai số có $S=x_1+x_2=-6;P=x_1{x}_2=-8$ là nghiệm của phương trình $x^2+6x-8=0.$

Đáp án: B

Tổng của hai nghiệm là $3+\sqrt{2}+3-\sqrt{2}=6$ và tích của hai nghiệm là $\left(3+\sqrt{2}\right)\left(3-\sqrt{2}\right)=9-2=7.$

Do đó $3+\sqrt{2}$ và $3-\sqrt{2}$là nghiệm của phương trình $x^2-6x+7=0.$

Đáp án: C

Phương trình $x^2+2x+m=0$có $a=1\ne 0$và $\Delta =4-\mathrm{4.1.}m=4-4m.$

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$hay $4-4m>0$hay $m<1.$

Theo định lí Viète,ta có

Theo đề bài ta có $3x+_{1}2x_2=1\left(3\right)$

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình

Thay $x_1=5$và $x_2=-7$ vào phương trình (2)ta được $m=5.\left(-7\right)=-35$

Vậy $m=-35$ thì phương trình $x^2+2x+m=0$ có hai nghiệm $x_1;x_2$ thỏa mãn $3x+_{1}2x_2=1$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Nhận thấy phương trình (1) có biệt thức là $∆\text{'}={[-(m+1\left)\right]}^2-4m+1=m^2-2m+2$.

Ta có: $∆\text{'}=m^2-2m+2={(m-1)}^2+1\ge 1$ với mọi m.

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Sai.

Áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1{x}_2=4m-1\end{array}\right.$ .

c) Sai.

Theo đề, ta có: $x_1^2+x_2^2=10$

$x_1^2+x_2^2+2x_1{x}_2-2x_1{x}_2=10$

(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = 10

4(m + 1)² - 2(4m - 1) = 10

4m² + 8m + 4 - 8m + 2 - 10 = 0

4m² - 4 = 0

m² = 1

m = 1 hoặc m = -1 (thỏa mãn).

Vậy m = 1 và m = -1 là giá trị cần tìm.

d) Đúng.

Từ hệ thức Viète ta được: $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2(m+1)\\ x_1{x}_2=4m-1\end{array}\right.$

Ta có: x₁ + x₂ = 2(m + 1) hay x₁ + x₂ = 2m + 2 suy ra 2m = x₁ + x₂ - 2 (*)

Thay (*) vào x₁x₂ = 4m -1, ta được: x₁x₂ = 2(x₁ + x₂ - 2) - 1 suy ra 2x₁ + 2x₂ - x₁x₂ = 5.

Vậy biểu thức 2x₁ + 2x₂ - x₁x₂ = 5 luôn đúng với mọi m.

Đâp án: 6

Phương trình -2x² - 6x - 1 = 0 có $∆={(-6)}^2-4.(-2).(-1)=28>0$ nên phương trình có hai nghiệm x₁; x₂

Đáp án: -35

Phương trình x² + 2x + m = 0 có $a=1\ne 0$ và $∆$ = 4 - 4.1.m = 4 - 4m.

Để phương tình có hai nghiệm phân biệt thì $∆>0$ hay 4 - 4m > 0 hay m < 1.

Theo định lí Viète,ta có $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=-2\left(1\right)\\ x_1{x}_2=m \left(2\right)\end{array}\right.$

Theo đề bài ta có 3x₁ + 2x₂ = 1 (3)

Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=2\\ 3x_1+2x_2=1\end{array}\right.$ suy ra $\left\{\begin{array}{l}{x}_1=5\\ x_2=-7\end{array}\right.$

Thay x₁ = 5 và x₂ = -7 vào phương trình (2) ta được m = 5.(-7) = -35

Vậy m = -35 thì phương trình x² + 2x + m = 0 có hai nghiệm x₁; x₂ thỏa mãn 3x₁ + 2x₂ = 1.