13 Bài tập Đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp của một tam giác (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 9

Đáp án: B

Đường tròn ngoại tiếp đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó.

Đáp án: B

Tâm đường tròn nội tiếp của một tam giác là giao của các đường phân giác trong của tam giác đó.

Đáp án: A

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của các đường trung trực của tam giác đó.

Đáp án: C

Mỗi tam giác luôn có một đường tròn ngoại tiếp và một đường tròn ngoại tiếp nên đáp án A và B đều đúng.

Đường tròn nội tiếp tam giác là đường tròn tiếp xúc với cả ba cạnh của một tam giác nên đáp án D không đúng.

Vậy đáp án đúng nhất là đáp án C.

Đáp án: B

Đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh $a$ có bán kính bằng $\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Đáp án: C

Gọi $O$ là tâm của hình vuông $ABCD$.

Gọi $E;F;K;G$ lần lượt là trung điểm của $AD,DC,BC,AB$.

Khi đó ta có $OE=OF=OK=OG=\frac{a}{2}$ hay $O$ là tâm đường tròn nội tiếp hình vuông $R=\frac{a}{2}$.

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông là .

Đáp án: B

Gọi tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left(O;R\right)$ có cạnh là

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$.

Gọi $AH$ là đường trung tuyến.

Suy ra $R=AO=\frac{2}{3}AH$ hay $AH=\frac{3R}{2}$.

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$

Khi đó $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do đó $\frac{3R}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ hay $a=R\sqrt{3}$.

Đáp án: D

Gọi tam giác đều $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left(O;R\right)$ có cạnh là $a$.

Khi đó $O$ là trọng tâm tam giác $ABC$ và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ nên $AO=2\text{cm}$.

Gọi $AH$ là đường trung tuyến.

Suy ra $2=AO=\frac{2}{3}AH$ hay $AH=3\text{cm}$.

Áp dụng định lý Pythagore với tam giác $ABH$ vuông tại $H$, ta có: $A{H}^2=A{B}^2-B{H}^2$

Khi đó $AH=\sqrt{A{B}^2-B{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Do đó $3=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ hay $a=2\sqrt{3}$ (cm).

Diện tích tam giác $ABC$ là: $\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}=3\sqrt{3}\left({\text{cm}}^{\text{2}}\right)$.

Vậy diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn $\left(O;2\text{cm}\right)$ là $3\sqrt{3}{\text{cm}}^2$.

Đáp án: C

Vì tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm O của cạnh huyền $BC$, bán kính $R=\frac{BC}{2}$.

Theo định lý Pythagore, ta có:

$BC=\sqrt{A{C}^2+A{B}^2}=\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ (cm).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R=\frac{BC}{2}=\frac{13}{2}$ (cm).

Đáp án: A

Gọi $E,F$ là tiếp điểm của đường tròn $\left(I\right)$ với các cạnh $AB,AC$.

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: $AE=AF;BE=BD;CD=CF$.

Do đó $2BD=BD+BE=BC–CD+AB–AE$

$=BC+AB–\left(CD+AE\right)=BC+AB–\left(CF+AF\right)$

$=BC+AB–AC$.

Suy ra $BD=\frac{BC+AB-AC}{2}$.

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC đều nên CE vừa là đường cao, vừa là đường phân giác, đường trung tuyến.

Do đó, $CE=\frac{18\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}$ (cm) .

Suy ra $OE=\frac{1}{3}CE=3\sqrt{3}$ (cm) .

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $3\sqrt{3}$ cm.

b) Sai.

Xét $∆OEN$ và $∆ONI$ , có:

OE = OI = r

ON chung

$\widehat{OEN}=\widehat{OIN}=90°$

Suy ra $∆OEN=∆OIN$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

c) Sai.

Ta chứng minh được $∆OFM=∆OIM$ (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

$∆OEA=∆OFA$ (c.c.c)

Ta có: $S_{AEOF}=2S_{AOE}=2.\frac{1}{2}.EA.EO=EA.EO=\frac{1}{2}.AB.EO=9.3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$ (cm²) .

d) Đúng.

Ta có: $S_{ENIO}+S_{IMFO}=2S_{NOI}+2S_{OIM}$$=2S_{OMN}$$=2.\frac{1}{2}.OI.MN$$=3\sqrt{3}.8$$=24\left(c{m}^2\right)$ .

Suy ra $S_{AMN}=S_{AEOF}-S_{ENIO}-S_{IMFO}$$=27\sqrt{3}-24\sqrt{3}$$=3\sqrt{3}$ (cm²).

Đáp án: 2

Đường tròn (I; r) tiếp xúc với các cạnh AB, AC, BC theo thứ tự M, N, P.

Ta có: $S_{AIB}=\frac{1}{2}IM.AB=\frac{1}{2}.r.AB\left(1\right)$

$S_{AIC}=\frac{1}{2}IN.AC=\frac{1}{2}.r.AC\left(2\right)$

$S_{BIC}=\frac{1}{2}r.BC\left(3\right)$

Cộng vế theo vế ở các biểu thức (1), (2), (3), ta được:

$\frac{S_{AIB}+S_{AIC}+S_{BIC}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}r(AB+AC+BC)$.

Mà $S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.6.8=24$(cm²), $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$(cm)

Nên ta có: $24=\frac{1}{2}r.(6+8+10)$hay $\frac{1}{2}r.12=24$.

Do đó r = 2 cm.

Đáp án: 5

Ta có: $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2(=100)$.

Suy ra tam giác ABC vuông tại A.

Do đó, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm O của cạnh huyền BC.

Đường kính đường tròn là: d = BC = 10 cm.

Suy ra, bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là $R=\frac{d}{2}=5$ (cm).

Vậy R = 5 cm.