Các bài toán liên quan đến mệnh đề phủ định và cách giải

---

---

Với Các bài toán liên quan đến mệnh đề phủ định và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách và phương pháp giải các dạng bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 10.

Các bài toán liên quan đến mệnh đề phủ định và cách giải

1. Lý thuyết:

Cho mệnh đề P.

- Mệnh đề “ không phải P ” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là  

- Nếu P đúng thì   sai, nếu P sai thì   đúng.

2. Phương pháp giải:

- Phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “ không phải P”.

- Phủ định của quan hệ = là quan hệ ≠ và ngược lại.

- Phủ định của quan hệ > là quan hệ ≤ và ngược lại.

- Phủ định của quan hệ < là quan hệ ≥ và ngược lại.

- Phủ định liên kết “và” là liên kết “hoặc” và ngược lại.

- Mệnh đề phủ định của “ ∀x ∈ X; P(x)  ” là: “∃x ∈ X; ”.

- Mệnh đề phủ định của “∃x ∈ X;” là “ ∀x ∈ X; P(x) ”.

3. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Phát biểu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a. P: “ Mọi hình thoi là hình vuông”.

b. P: “ Số chính phương có thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 ”.

c. P: “ Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước là duy nhất”.

Lời giải:

a.   : “ Tồn tại hình thoi không là hình vuông”.

b.   : “ Số chính phương không thể có chữ số tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6; 9 ”.

c.   : “ Đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước không là duy nhất”.

Ví dụ 2: Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai, lập mệnh đề phủ định của mệnh đề:

a. ∀x ∈ R, x² - x + 1 > 0.

b. ∃x ∈ N, (n + 2)(n + 1) = 0.

c. ∃x ∈ Q, x² = 3.

Lời giải:

a. Mệnh đề đúng, vì x² - x + 1 = > 0, ∀x.

     Mệnh đề phủ định là ∃x ∈ R, x² - x + 1 ≤ 0.

b. Mệnh đề sai, vì (n + 2)(n + 1) = 0 ⇒ n = -2 hoặc n = -1 đều không thuộc N .

     Mệnh đề phủ định là ∀n ∈ N, (n + 2)(n + 1) ≠ 0  .

c. Mệnh đề sai, vì x² = 3 ⇒ x = ±√3 ∉ Q.

    Mệnh đề phủ định là ∀x ∈ Q, x² ≠ 3 .

Ví dụ 3: Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề: “∀n ∈ N, n² + 1 không chia hết cho 3”.

Lời giải:

Phủ định của ∀ là ∃. Phủ định của “không chia hết” là “chia hết”.

Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N, n² + 1  không chia hết cho 3” là:

“ ∃n ∈ N, n² + 1 chia hết cho 3”.

4. Bài tập tự luyện:

Câu 1: Chọn khẳng định sai:

A. Cho mệnh đề P và mệnh đề phủ định , nếu P đúng thì  sai và điều ngược lại chắc đúng.

B. Mệnh đề P và mệnh đề phủ định   cùng đúng hoặc cùng sai.

C. Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề “ không phải P” được kí hiệu là   .

D. Mệnh đề P: “ π  là số hữu tỷ” khi đó mệnh đề phủ định  là: “ π là số vô tỷ”.

Lời giải:

Chọn B. Theo lý thuyết nếu P đúng thì   sai và ngược lại

Câu 2: Phủ định của mệnh đề: “ Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn tuần hoàn” là mệnh đề nào sau đây:

A. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

B. Có ít nhất một số vô tỷ là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

C. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

D. Mọi số vô tỷ đều là số thập phân tuần hoàn.

Lời giải:

Chọn C.

Phủ định của “có ít nhất” là “mọi”.

Phủ định của “tuần hoàn” là “không tuần hoàn”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: “Mọi số vô tỷ đều là số thập phân vô hạn không tuần hoàn”.

Câu 3: Cho mệnh đề A “ ∀x ∈ R, x² - x + 7 < 0”. Mệnh đề phủ định   của mệnh đề A là:

A. ∀x ∈ R, x² - x + 7 > 0 .

B. ∀x ∈ R, x² - x + 7 ≥ 0 .

C. Không tồn tại x : x - x + 7 < 0 .    

D. ∃x ∈ R, x² - x + 7 ≥ 0 .

Lời giải:

Chọn D.

Theo lý thuyết, mệnh đề phủ định của “∀x ∈ X; P(x)” là: “∃x ∈ X;  ”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề A là: ∃x ∈ R, x² - x + 7 ≥ 0  .

Câu 4: Mệnh đề phủ định của mệnh đề  P “ ∃x : x² + 2x + 5 là số nguyên tố” là :

A. ∀x : x² + 2x + 5 không là số nguyên tố.  

B. ∃x : x² + 2x + 5 là hợp số.

C. ∀x : x² + 2x + 5 là hợp số.

D. ∃x : x² + 2x + 5 là số thực.

Hướng dẫn :

Chọn A.

Phủ định của ∃ là ∀ .

Phủ định của “ là số nguyên tố” là “ không là số nguyên tố”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề P là : ∀x : x² + 2x + 5  không là số nguyên tố.    

Câu 5: Mệnh đề nào sau đây là phủ định của mệnh đề: “ Mọi phương trình đều có nghiệm”

A.  Mọi phương trình đều vô nghiệm.

B. Tất cả các phương trình đều không có nghiệm.

C. Có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

D. Có duy nhất một phương trình vô nghiệm.

Lời giải:

Chọn C.

Phủ định của “mọi” là “có ít nhất”.

Phủ định của “vô nghiệm” là “có nghiệm”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: Có ít nhất một phương trình vô nghiệm.

Câu 6: Mệnh đề phủ định của mệnh đề P: “∃x ∈ R, 5x - 3x² = 1” là:

A. ∃x ∈ R, 5x - 3x².                 

B. ∀x ∈ R, 5x - 3x² = 1.

C. ∀x ∈ R, 5x - 3x² ≠ 1.  

D. ∃x ∈ R, 5x - 3x² ≥ 1.

Lời giải:

Chọn C.

Phủ định của ∃ là ∀ .

Phủ định của = là ≠ .

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề P là : ∀x ∈ R, 5x - 3x² ≠ 1.

Câu 7: Cho mệnh đề P(x): " ∀x ∈ R, x² + x + 1 > 0". Mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x)  là:

A. ∀x ∈ R, x² + x + 1 < 0 . 

B. ∀x ∈ R, x² + x + 1 ≤ 0 .

C. ∃x ∈ R, x² + x + 1 ≤ 0 . 

D. ∈ R, x² + x + 1 > 0  .

Lời giải:

Chọn C.

Phủ định của ∀ là ∃ .

Phủ định của > là ≤  .

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề P(x) là: ∃x ∈ R, x³ + x +1 ≤ 0 .

Câu 8: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ R, ” là mệnh đề “∀x ∈ R,     ”.

B. Phủ định của mệnh đề “∀k ∈ Z, k² + k + 1 là một số lẻ” là mệnh đề “∀k ∈ Z, k² + k + 1 là một số chẵn”.

C. Phủ định của mệnh đề “∀n ∈ N sao cho n² - 1 chia hết cho 24” là mệnh đề “  ∀n ∈ N sao cho n² - 1 không chia hết cho 24”.

D. Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ Q, x³ - 3x + 1 > 0” là mệnh đề “∀x ∈ Q, x³ - 3x + 1 ≤ 0”.

Lời giải:

Chọn B: vì phủ định của ∀ là ∃, phủ định của số lẻ là số chẵn.

Đáp án A sai vì phủ định của < phải là ≥.

Đáp án C sai vì phủ định của ∀ phải là ∃ .

Đáp án D sai vì phủ định của ∀ phải là ∃.

Câu 9: Mệnh đề phủ định của mệnh đề “ Có ít nhất một số thực x thỏa mãn điều kiện bình phương của nó là 1 số không dương” là:

A. ∀x ∈ : x² > 0.

B. ∃x ∈ R : x² ≤ 0.

C. ∀x ∈ R : x² ≤ 0.

D. ∃x ∈ R : x² > 0.

Lời giải:

Chọn A.

Theo giả thiết, ta có mệnh đề P: "∃x ∈ R : x² ≤ 0" .

Vậy mệnh đề phủ địnhcủa mệnh đề P là: ∀x ∈ R : x² > 0.

Câu 10: Cho mệnh đề “ Phương trình x² - 4x + 4 = 0 có nghiệm”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho và tính đúng, sai của mệnh đề phủ định là:

A. Phương trình x² - 4x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề đúng. 

B. Phương trình x² - 4x + 4 = 0 có nghiệm. Đây là mệnh đề sai.

C. Phương trình x² - 4x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề đúng.

D. Phương trình x² - 4x + 4 = 0 vô nghiệm. Đây là mệnh đề sai.

Hướng dẫn :

Chọn D. 

Phủ định của “có nghiệm” là “vô nghiệm”.

Vậy mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là: Phương trình x² - 4x + 4 = 0 vô nghiệm.

Mệnh đề phủ định sai do phương trình x² - 4x + 4 = 0  có nghiệm là 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 chọn lọc, có đáp án hay khác khác:

• Xác định tính đúng sai của mệnh đề
• Mệnh đề và suy luận toá học
• Tập hợp và cách xác định tập hợp
• Các phép toán trên tập hợp
• Các bài toán về các tập hợp số

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---