Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ
• Các dạng bài tập Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ
• Bài tập tự luyện Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ

Giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0 độ đến 180 độ và cách giải

A. Lí thuyết. 

- Định nghĩa: Cho góc () bất kì, xác định một điểm M(x₀;y₀) trên nửa đường tròn đơn vị sao cho. Khi đó ta có: sin = y₀; cos= x₀; tan = (x₀#0); cot= (y₀#0) ; . ( sin, cos, tan, cot là các giá trị lượng giác của góc  )

- Tính chất: 

Hai góc bù nhau là hai góc có tổng bằng . Cho góc   ta có:

+) sin = sin(-  )

+) cos = -cos(-  )

+) tan = -tan(-  )

+) cot = -cot(-  )

Hai góc phụ nhau là hai học có tổng bằng . Cho góc   ta có:

+) sin = cos( -  )

+) cos = sin( -  )

+) tan = cot( -  )

+) cot = tan( -  )

- Bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: 

- Định nghĩa góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ và đều khác vectơ . Từ điểm O bất kì vẽ khi đó góc () là góc giữa hai vectơ và . Kí hiệu:( , ).

- Các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác : 

tan = ( # )

cot = ( #; # )

tan. cot = 1 ( # ; # ; # )

sin² + cos² = 1

1 + tan² = ( #)

1 + cot² = ( # ; # )

- Chú ý: 

+) hoặc .

+)

+) tan chỉ xác định khi #

+) cot chỉ xác định khi # và #

+) Với ta có: 0sin 1 và -1 cos  1.

+) Với ta có: sin 0; cos 0; tan 0; cot 0.

+) Với ta có: sin 0; cos  0; tan  0; cot  0.

B. Các dạng bài. 

Dạng 1: Góc và dấu của các giá trị lượng giác. 

Phương pháp giải: 

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt và các chú ý về dấu của giá trị lượng giác liên quan tới góc. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho góc thỏa mãn . Xác định dấu của các giá trị lượng giác sau: sin(); cos; tan().

Lời giải:

Ta có:

Khi , ta có: cos0 cos  mang dấu dương hoặc bằng 0.

Khi ta có: sin( )0; tan( )0

sin( ) mang dấu dương hoặc bằng 0 và tan( ) mang dấu âm hoặc bằng 0.

Bài 2: Trên đường tròn đơn vị cho điểm M. Xác định góc .

Lời giải:

Điểm M sin = ; cos =

Dựa vào các giá trị lượng giác đặc biệt ta suy ra = .

Dạng 2: Cho một giá trị lượng giác, tính các giá trị lượng giác còn lại. 

Phương pháp giải: 

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác để từ một giá trị lượng giác suy ra các giá trị lượng giác còn lại. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho góc thỏa mãn biết cos = , hãy tính các giá trị lượng giác sin ,cot ,tan .

Lời giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác ta có: 

sin² + cos²  = 1

sin² = 1 - cos² 

sin =

sin = (vì với thì 0sin1 )

tan =

tan .cot = 1 cot =

Bài 2: Cho góc thỏa mãn , biết = 2 . Tính các giá trị lượng giác cot ,cos ,sin .

Lời giải:

Áp dụng các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác ta có: 

tan . cot  = 1

  cot =

1 + tan² =

cos² =

cos = ( do nên ta có cos 0)

1 + cot² =

sin² =

sin = (do nên ta có sin 0)

Dạng 3: Chứng minh, rút gọn một biểu thức lượng giác. 

Phương pháp giải: 

Áp dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, bảng các giá trị lượng giác đặc biệt, tính chất của giá trị lượng giác đặc biệt, các hệ thức cơ bản liên hệ giữa các giá trị lượng giác, hằng đẳng thức để rút gọn biểu thức lượng giác hay chứng minh một đẳng thức lượng giác ( bằng cách chứng minh hai vế bằng nhau hoặc từ đẳng thức đã cho biến đổi về một đẳng thức được công nhận là đúng). 

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Chứng minh đẳng thức: a²sin + b²cos + c²cos = (a-c)(a+c) .

Lời giải:

Theo bảng các giá trị lượng giác đặc biệt ta có: 

sin = 1; cos = 0; cos = -1

VT = a²sin + b²cos + c²cos 

= a².1 + b².0 + c².(-1)

= a² - c². (a-c)(a+c)  ( theo hằng đẳng thức )

 VT=VP

  a²sin + b²cos + c²cos = (a-c)(a+c) (điều cần phải chứng minh)

Bài 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức sau:

A = sin² + cos² + sin² + sin² + 4tancot

Lời giải:

A = sin² + cos² + sin² + sin² + 4tancot

= (sin² + cos²) + (sin² + sin²) + 4tancot

Ta có: sin  = cos  (tính chất hai góc phụ nhau)

Áp dụng hệ thức liên hệ giữa các giá trị lượng giác ta có: 

sin² + cos² = 1

cos² + sin² = 1

tan . cot = 1

 A = (sin² + cos² ) + (sin² + sin²) + 4tancot

   A = 1 + 1 + 4.1 = 6

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Cho góc =  . Nhận định nào sau đây là đúng ?

A. sin  < 0

B. tan  < 0

C. cos  > 0

D. cot  < 0

Đáp án: C

Bài 2: Cho biết sin > 0; cos < 0. Góc   có thể là góc nào sau đây:

Đáp án: D

Bài 3: Cho điểm M (1;0) trên đường tròn đơn vị. Hãy xác định số đo của góc .

Đáp án: =

Bài 4: Cho góc thỏa mãn . Hãy xác định dấu của các giá trị lượng giác sin() , cos.

Đáp án: sin() mang dấu dương, cos  mang dấu dương

Bài 5: Cho góc thỏa mãn biết cos = , hãy tính các giá trị lượng giác sin ,cot ,tan .

Đáp án: sin = ; tan = ;cot = .

Bài 6: Cho góc thỏa mãn biết cot = 3, hãy tính các giá trị lượng giác sin ,cos ,tan .

Đáp án: sin = ; tan = ; cos =

Bài 7: Cho góc thỏa mãn , biết cos - sin = . Tính các giá trị lượng giác tan ,cot .

Đáp án: tan = ; cot =

Bài 8: Chứng minh đẳng thức:

Đáp án: VT =  = VP

Bài 9: Chứng minh đẳng thức: = tan³ + tan² + tan + 1.

Đáp án: VT = = tan³ + tan² + tan + 1 = VP

Bài 10: Rút gọn và tính giá trị biểu thức: B = sin² + sin² + sin² + sin²

Đáp án: B = 2

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Tích vô hướng của hai vectơ và cách giải bài tập
• Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập
• Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường tròn và cách giải bài tập

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---