Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập (hay, chi tiết)

• Lý thuyêt bài tập Hệ thức lượng trong tam giác
• Các dạng bài tập Hệ thức lượng trong tam giác
• Bài tập tự luyện Hệ thức lượng trong tam giác

Hệ thức lượng trong tam giác và cách giải bài tập

A. Lí thuyết. 

- Định lý cosin: Cho tam giác ABC . Ta có: 

BC²  = AB² + AC² - 2AB.AC.cos

AC² = AB² + BC² - 2AB.BC.cos

AB² = AC² + BC² - 2AB.BC.cos

Hệ quả:

cos =

cos =

cos =

- Định lí sin: Cho tam giác ABC, R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta có: 

- Độ dài đường trung tuyến: Gọi m_a,m_b,m_c là độ dài đường trung tuyến lần lượt vẽ từ đỉnh A, B, C của tam giác ABC, ta có:

m_a² =

m_b^{2 =}

m_c² =

- Diện tích tam giác: 

S = BC.h_a = AC.h_b = AB h_c . (h_a,h_a,h_c là độ dài đường cao lần lượt kẻ từ đỉnh A, B, C ) 

S = AB.AC.sin = AC.BC.sin = AB.BC.sin 

S =  = p.r ( R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác, r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác và p là nửa chu vi của tam giác )

S = ( p là nửa chu vi của tam giác )

- Ôn lại các hệ thức lượng trong tâm giác vuông, tỉ số lượng giác của góc nhọn và các công thức tính diện tính các tam giác, tứ giác đặc biệt. 

B. Các dạng bài. 

Dạng 1: Tính toán các đại lượng.

Phương pháp giải: 

Vận dụng các định lí sin, cosin, trung tuyến, diện tích và quan hệ giữa các đại lượng cần tính, các dạng tam giác đặc biệt. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 1cm , AC = 2cm và . Tính BC.

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin ta có: 

BC²  = AB² + AC² - 2AB.AC.cos

BC²  = 1² + 2² - 2.1.2.cos

BC²  = 1+ 4 - 4. = 7

  BC = (cm)

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 23, AC = 24, . Tính góc  .

Lời giải:

Áp dụng định lí sin ta có: 

Dạng 2: Chứng minh hệ thức, tính giá trị các biểu thức: 

Phương pháp giải: 

Vận dụng các phương pháp chứng minh đẳng thức: biến đổi sao cho hai vế bằng nhau, từ giả thiết ban đầu dẫn đến một đẳng thức đã được công nhận là đúng,… Sử dụng các định lí trong tam giác vuông, tam giác thường, các hệ thức lượng trong tam giác. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho tam giác ABC có diện tích S. Chứng minh cot

Lời giải:

Xét VT =

Áp dụng định lí cosin ta có: 

cos

cos.2AB.AC = AB² + AC²- BC² 

Áp dụng công thức tính diện tích ta có:

S =

Áp dụng định lí sin ta có: 

VT = = cot = VP

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, chứng minh rằng BD² + AC² = 2(AB² + AD²)

Lời giải:

Ta có O là tâm hình bình hành ABCD  O là trung điểm của AC.

 BO là trung tuyến của tam giác ABC ứng với cạnh AC. 

BO² =

4BO² =  2(BC² + BA²) - AC² (1)

Mà O là trung điểm của BD BD = 2BO BD²  = 4BO²

(1)   BD²  = 2(CB² + AB²) - AC²

BD² + AC²  = 2(CB² + AB²)

BD² + AC²  = 2(AB² + AD²) ( do AD = CB ) (điều cần phải chứng minh)

Dạng 3: Chứng minh tam giác. 

Phương pháp giải: 

Áp dụng các hệ thức lượng trong tam giác, các định lí, công thức về diện tích, đường trung tuyến và các bất đẳng thức, hằng đẳng thức cơ bản. 

Tam giác ABC vuông tại A

Tam giác ABC cân tại A

Tam giác ABC đều

Tam giác ABC nhọn khi có cả ba góc nhọn. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh nhọn khi và chỉ khi BC² < AB² + AC²

Lời giải:

Áp dụng định lí cosin ta có: 

cos =

Mà AB.AC luôn lớn hơn 0 nên cos cùng dấu với biểu thức (AB² + AC²- BC²)

nhọn < < cos  > 0

AB² + AC²- BC² > 0

BC²  < AB² + AC²

Bài 2: Cho tam giác ABC có nửa chu vi p và diện tích S. Xét dạng tam giác ABC khi biết S = p.(p – BC)

Lời giải:

Áp dụng công thức tính diện tích ta có: 

S =

 = p(p-BC)

 (p-AB)(p-AC) - p.(p-BC)

 (AC + BC - AB)(AB + BC - AC) = (AB + AC + BC)(AB+AC-BC)

BC²  - (AC - AB)² = (AB+AC)² - BC²

BC²  - (AC² - 2AC.AB + AB²) = AB² + 2AB.AC + AC² -  BC²

2BC²  = 2AB² + 2AC²

BC²  = AC² + AB²

Vậy tam giác ABC  là tam giác vuông tại A. 

Dạng 4: Giải tam giác và các bài toán thực tế. 

Phương pháp giải: 

Giải tam giác là tìm số đo các cạnh, các góc còn lại trong tam giác khi biết các giải thiết, áp dụng các hệ thức lượng, định lí, công thức tính diện tích, đường trung tuyến,… Bài toán thực tế được giải bằng cách chuyển về bài toán tam giác để xác định số đo được yêu cầu. 

Ví dụ minh họa: 

Bài 1: Cho tam giác ABC có BC = 17cm,  . Tính  và AB, AC.

Lời giải:

Ta có:

Áp dụng định lí sin ta có: 

Bài 2: Một ô tô đi từ A đến C nhưng giữa A và C là một ngọn núi cao nên ô tô phải chạy thành hai đoạn đường từ A đến B và từ B đến C, các đoạn đường này tạo thành tam giác ABC có AB =15km, BC = 10km và góc . Giả sử người ta khoan hầm qua một núi và tạo ra một con đường thẳng từ A đến C, tính độ dài đoạn đường này.

Lời giải: 

Áp dụng định lí cosin ta có: 

AC² = AB² + BC² = 2AB.BCcos

AC² = 15² + 10² - 2.15.10.cos 402,65

AC =   = 20,07 (km)

C. Bài tập tự luyện. 

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 5cm và cos=  . Tính độ dài cạnh BC.

Đáp án: BC =

Bài 2: Cho tam giác ABC có AB = 4cm và . Tính độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Đáp án: R = 4cm. 

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 7, BC = 8. Tính diện tích tam giác ABC. 

Đáp án: S = 6

Bài 4: Cho tam giác ABC. Chứng minh tù khi và chỉ khi BC² > AB² + AC²

Đáp án: tù < < cos<0 BC² > AB² + AC²

Bài 5: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng cos .

Đáp án: Dựng hình như hình vẽ để chứng minh: AD = AB, I là trung điểm của BD.

Bài 6: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, = , = . Tính AC, BC.

Đáp án: AC = 4,19cm; BC = 6,53cm

Bài 7: Cho tam giác ABC có r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC và AB² + AC² + BC² = 36r² . Xét dạng của tam giác ABC.

Đáp án: ABC là tam giác đều.

Bài 8: Cho tam giác ABC có đường cao AH. Biết AH = AB.sin . Xét dạng của tam giác ABC.

Đáp án: Tam giác ABC cân tại C.

Bài 9: Cho ba con đường AB, BC, CA có AB = 300m, BC = 450m và AC = 350m. Một hồ nước nằm giữa. Bạn Hùng đứng trên bờ hồ tại điểm M nằm ở trung điểm BC. Bạn muốn bơi qua hồ đến vị trí điểm A bên kia hồ để về nhà. Bằng các kiến thức đã học em hãy tính toán và đưa ra lời khuyên cho bạn Hùng là có nên bơi qua hồ không. Biết rằng bạn hùng bơi tối đa được 200m.

Đáp án: Không nên (AM = 235,85m)

Bài 10: Từ vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của một ngọn núi. Biết rằng độ cao AB là 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc  . Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

Đáp án: 134,7m

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 10 hay, chi tiết khác:

• Hệ trục tọa độ trong mặt phẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường thẳng và cách giải bài tập
• Phương trình đường tròn và cách giải bài tập
• Phương trình đường elip và cách giải bài tập
• Các dạng bài tập về hàm số và cách giải

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---

---

---