Sử dụng phương pháp tổ hợp lớp 10 (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Sử dụng phương pháp tổ hợp lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Sử dụng phương pháp tổ hợp.

Sử dụng phương pháp tổ hợp lớp 10 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Phương pháp tính xác suất của biến cố E theo định nghĩa cổ điển:

− Bước 1. Tính số phần tử của không gian mẫu là n(Ω).

− Bước 2. Tính số phần tử của biến cố E là n(E).

− Bước 3. Tính xác suất theo công thức: $P\left(E\right)=\frac{n\left(E\right)}{n\left(\Omega \right)}.$

Để tính số phần tử của không gian mẫu và biến cố E trong Bước 1, Bước 2, ta có thể sử dụng phương pháp tổ hợp, tức là sử dụng quy tắc đếm, hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp.

*Chú ý: Ta sử dụng phương pháp tổ hợp trong một số trường hợp không liệt kê cụ thể được các phần tử.

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Một tổ có 6 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh. Tính xác suất để trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ.

Hướng dẫn giải:

Tổng số học sinh trong tổ là: 6 + 4 = 10 (học sinh).

Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh từ 10 học sinh trong tổ. Suy ra $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{10}}^{\text{4}}\text{ = 210}$.

Gọi A là biến cố: “Trong 4 học sinh được chọn luôn có học sinh nữ”.

Có ${\text{C}}_{\text{6}}^{\text{4}}=15$ cách chọn 4 học sinh nam.

⇒ Có 210 – 15 = 195 cách chọn 4 học sinh luôn có học sinh nữ. Do đó, n(A) = 195.

Vậy xác suất của biến cố A là $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{\text{n}\left(\text{A}\right)}{\text{n}\left(\text{Ω}\right)}\text{ = }\frac{\text{195}}{\text{210}}\text{ = }\frac{\text{13}}{\text{14}}$.

Ví dụ 2. Một lớp có 30 học sinh trong đó gồm 8 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự Đại Hội. Tính xác suất để chọn được:

a) Ba học sinh được chọn đều là học sinh giỏi.

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi.

Hướng dẫn giải:

Chọn ngẫu nhiên 3 em từ 30 học sinh để đi dự Đại Hội. Số phần tử của không gian mẫu là: $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{30}^3$

a) A: “Chọn 3 học sinh là học sinh giỏi”

Có ${\text{C}}_8^3$ cách chọn 3 em là học sinh giỏi. Suy ra, $\text{n}\left(\text{A}\right){\text{ = C}}_8^3$

Xác suất của biến cố A là: $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ =}\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\text{= }\frac{{\text{C}}_{\text{8}}^{\text{3}}}{{\text{C}}_{\text{30}}^{\text{3}}}\text{ = }\frac{\text{2}}{\text{145}}.$

b) B: “Chọn 3 học sinh có ít nhất một học sinh giỏi”.

$\overline{\text{B}}$ : “ Chọn 3 học sinh không có học sinh giỏi nào”.

Có ${\text{C}}_{\text{22}}^{\text{3}}$ cách chọn 3 học sinh không có học sinh giỏi nào. Suy ra $\text{n}\left(\overline{\text{B}}\right){\text{ = C}}_{\text{22}}^{\text{3}}$

Suy ra, $\text{n}\left(\text{B}\right)\text{ = n}\left(\Omega \right)-\text{n}\left(\overline{\text{B}}\right){\text{ = C}}_{30}^3-{\text{C}}_{\text{22}}^{\text{3}}$

Vậy xác suất của biến cố B là: $\text{P}\left(\text{B}\right)\text{ = }\frac{n\left(B\right)}{n\left(\Omega \right)}\text{=}\frac{{\text{C}}_{\text{30}}^{\text{3}}-{\text{C}}_{\text{22}}^{\text{3}}}{{\text{C}}_{\text{30}}^{\text{3}}}\text{ = }\frac{\text{18}}{\text{29}}\text{.}$

Ví dụ 3. Cho đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác. Tính xác suất để 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Xét phép thử: “Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của đa giác đều 20 đỉnh nội tiếp trong đường tròn tâm O”. Suy ra $\text{n}\left(\text{Ω}\right){\text{ = C}}_{\text{20}}^{\text{4}}\text{ = 4 845}$

Gọi A là biến cố: “4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của một hình chữ nhật”.

Đa giác đều có 20 đỉnh sẽ có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo qua tâm sẽ có 1 hình chữ nhật nên số hình chữ nhật là: $\text{n}\left(\text{A}\right){\text{ = C}}_{\text{10}}^{\text{2}}\text{ = 45.}$

Xác suất biến cố A là: $\text{P}\left(\text{A}\right)\text{ = }\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\text{=}\frac{\text{45}}{\text{4\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}845}}\text{ = }\frac{\text{3}}{\text{323}}.$

Ví dụ 4. Hai bạn lớp A và hai bạn lớp B được xếp vào 4 ghế sắp thành hàng ngang. Tính xác suất sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.

Hướng dẫn giải:

Có 4! cách xếp bất kỳ 4 bạn thành hàng ngang. Suy ra, $\text{n}\left(\text{Ω}\right)\text{ = 4!}$

Gọi biến cố A: “Các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau”.

Có 2.2!.2! cách xếp 4 bạn sao cho các bạn cùng lớp không ngồi cạnh nhau.

Do đó, $\text{n}\left(\text{A}\right)\text{ = 2}\cdot \text{2!}\cdot \text{2!}$

Xác suất cần tìm là $\text{P}\left(A\right)\text{= }\frac{n\left(A\right)}{n\left(\Omega \right)}\text{= }\frac{\text{2.2!.2!}}{\text{4!}}\text{ = }\frac{\text{1}}{\text{3}}$.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Một lớp có 40 học sinh, trong đó có 4 học sinh tên Anh. Trong một lần kiểm tra bài cũ, thầy giáo gọi ngẫu nhiên hai học sinh trong lớp lên bảng. Xác suất để hai học sinh tên Anh lên bảng bằng

A. $\frac{\text{1}}{\text{10}}$;

B. $\frac{\text{1}}{\text{20}}$;

C. $\frac{1}{130}$;

D. $\frac{\text{1}}{\text{75}}$.

Bài 2. Hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, xác suất để hai viên bi được lấy ra có cùng màu là

A. $\frac{91}{135}$;

B. $\frac{44}{135}$;

C. $\frac{88}{135}$;

D. $\frac{45}{88}$.

Bài 3. Trong một đợt kiểm tra định kỳ, giáo viên chuẩn bị một hộp đựng 15 câu hỏi gồm 5 câu hỏi Hình học và 10 câu hỏi Đại số khác nhau. Mỗi học sinh bốc ngẫu nhiên từ hộp đó 3 câu hỏi để làm đề thi cho mình. Xác suất để một học sinh bốc được đúng một câu hình học là

A. $\frac{45}{91}$;

B. $\frac{3}{4}$;

C. $\frac{200}{273}$;

D. $\frac{2}{3}$.

Bài 4. Có 5 học sinh không quen biết nhau cùng đến một cửa hàng kem có 6 quầy phục vụ. Xác suất để có 3 học sinh cùng vào một quầy và 2 học sinh còn lại vào một quầy khác là

A. $\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}\cdot {\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\cdot \text{5!}}{{\text{6}}^{\text{5}}}$;

B. $\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}\cdot {\text{C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\cdot {\text{C}}_{\text{5}}^{\text{1}}}{{\text{6}}^{\text{5}}}$;

C. $\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}{\text{.C}}_{\text{6}}^{\text{1}}\text{.5!}}{{\text{5}}^{\text{6}}}$;

D. $\frac{{\text{C}}_{\text{5}}^{\text{3}}{\text{.C}}_{\text{6}}^{\text{1}}{\text{.C}}_{\text{5}}^{\text{1}}}{{\text{5}}^{\text{6}}}$.

Bài 5. Một hộp đựng 9 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ hộp 3 viên bi. Xác suất để 3 viên bi lấy ra có ít nhất 2 viên bi màu xanh là

A. $\frac{10}{21}$;

B. $\frac{5}{14}$;

C. $\frac{25}{42}$;

D. $\frac{\text{5}}{\text{42}}$.

Bài 6. Đội tuyển học sinh giỏi Toán 12 trường THPT Yên Dũng số 3 gồm 8 học sinh, trong đó có 5 học sinh nam. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh đi thi học sinh giỏi cấp Huyện. Xác suất để 5 học sinh được chọn đi thi có cả nam và nữ và học sinh nam nhiều hơn học sinh nữ là

A. $\frac{11}{56}$;

B. $\frac{45}{56}$;

C. $\frac{46}{56}$;

D. $\frac{55}{56}$.

Bài 7. Đội thanh niên xung kích của trường THPT Chuyên Biên Hòa có 12 học sinh gồm 5 học sinh khối 12; 4 học sinh khối 11 và 3 học sinh khối 10. Chọn ngẫu nhiên 4 học sinh để làm nhiệm vụ mỗi buổi sáng. Xác suất sao cho 4 học sinh được chọn thuộc không quá hai khối là

A. $\frac{\text{5}}{\text{11}}$;

B. $\frac{\text{6}}{\text{11}}$;

C. $\frac{\text{21}}{\text{22}}$;

D. $\frac{\text{15}}{\text{22}}$.

Bài 8. Thầy Bình đặt lên bàn 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30. Bạn An chọn ngẫu nhiên 10 tấm thẻ. Xác suất để trong 10 tấm thẻ lấy ra có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm mang số chẵn trong đó chỉ có một tấm thẻ mang số chia hết cho 10 là

A. $\frac{\text{99}}{\text{667}}$;

B. $\frac{8}{11}$;

C. $\frac{3}{11}$;

D. $\frac{99}{167}$.

Bài 9. Ba bạn A, B, C mỗi bạn viết ngẫu nhiên lên bảng một số tự nhiên thuộc đoạn [1; 17]. Xác suất để ba số được viết ra có tổng chia hết cho 3 bằng

A. $\frac{1637}{4913}$;

B. $\frac{1079}{4913}$;

C. $\frac{23}{68}$;

D. $\frac{1728}{4913}$.

Bài 10. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có ba ghế. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 nam và 3 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ bằng

A. $\frac{1}{10}$;

B. $\frac{2}{5}$;

C. $\frac{1}{20}$;

D. $\frac{3}{5}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Xác định và mô tả không gian mẫu

• Xác định các biến cố, mối liên hệ giữa các biến cố, biến cố đối

• Tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

• Sử dụng sơ đồ hình cây

• Xác suất của biến cố đối

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---