Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol.

Xác định các yếu tố của elip, hypebol và parabol (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Bài toán: Xác định các yếu tố của ba đường conic.

a) Xác định các yếu tố của Elip

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, elip (E) có phương trình chính tắc là

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right).$

⦁ Tọa độ các đỉnh A₁(–a; 0), A₂(a; 0) và B₁(0; –b), B₂(0; b).

⦁ Hai tiêu điểm là F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2-b^2}.$

⦁ Độ dài trục lớn: 2a.

   Độ dài trục bé: 2b.

• Tiêu cự: 2c.

• Tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đó tới hai tiêu điểm bằng 2a.

b) Xác định các yếu tố của Hypebol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hypebol (H) có phương trình chính tắc là

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\left(a,b>0\right).$

• Hypebol có hai tiêu điểm là F₁(–c; 0) và F₂(c; 0) với $c=\sqrt{a^2+b^2}.$

• Tiêu cự: 2c.

• Giá trị tuyệt đối của hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm bằng 2a.

c) Xác định các yếu tố của Parabol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, parabol (P) có phương trình chính tắc là

y² = 2px (với p > 0).

• Parabol có tiêu điểm là F $\left(\frac{p}{2};0\right).$

⦁ Đường chuẩn Δ: $x=-\frac{p}{2}.$

2. Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E): $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1.$ Xác định tiêu điểm, tiêu cự và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm của elip đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của elip (E) ta có: a = 4, b = 3 (do a > b > 0), $c=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}.$

Elip (E) có:

⦁ Hai tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{7};0\right), F_2\left(\sqrt{7};0\right).$

⦁ Tiêu cự của elip là $2c=2\sqrt{7}.$

⦁ Tổng các khoảng cách mỗi điểm thuộc elip đến hai tiêu điểm là: 2a = 2.4 = 8.

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1.$ Xác định tiêu điểm, tiêu cự của hypebol đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của hypebol (H) ta có a = 3, b = 2 (do a, b > 0), $c=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}.$

Hypebol có:

⦁ Hai tiêu điểm là $F_1\left(-\sqrt{13};0\right), F_2\left(\sqrt{13};0\right).$

⦁ Tiêu cự là $2c=2\sqrt{13}.$

Ví dụ 3. Cho parabol (P): y² = 2x. Xác định đường chuẩn và tiêu điểm của parabol đó.

Hướng dẫn giải:

Từ phương trình chính tắc của parabol (P): y² = 2x ta có 2p = 2 nên p = 1, suy ra $\frac{p}{2}=\frac{1}{2}.$

Parabol (P) có:

⦁ Đường chuẩn là $\Delta :x=-\frac{1}{2}.$

⦁ Tiêu điểm là $F\left(\frac{1}{2};0\right).$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1.$ Tọa độ nào sau đây là tọa độ một tiêu điểm của elip?

A. (16; 0);

B. (–4; 0);

C. (0; –4);

D. (5; 0).

Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình là $\frac{x^2}{49}+\frac{y^2}{16}=1$. Độ dài trục bé của đường elip bằng

A. 7;

B. 4;

C. 5;

D. 8.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{5}=1$. Tiêu cự của hypebol (H) bằng

A. 3;

B. 4;

C. 8;

D. 6.

Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{7}=1$. Các tiêu điểm F₁; F₂ của hypebol (H) là

A. F₁(–3; 0), F₂ (3; 0);

B. F₁(–2; 0), F₂ (2; 0);

C. F₁(–4; 0), F₂ (4; 0);

D. F₁(–16; 0), F₂ (16; 0).

Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y² = 4x. Tọa độ tiêu điểm của parabol (P) là

A. F(–1; 0);

B. F(1; 0);

C. F(0; 1);

D. F(0; –1).

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P) có phương trình y² = 6x. Phương trình đường chuẩn của parabol đó là

A. $x=-\frac{2}{3}$;

B. $x=-\frac{1}{3}$;

C. $x=-\frac{3}{2}$;

D. $x=\frac{2}{3}$.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip có phương trình là $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$. Tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ nằm trên elip tới hai tiêu điểm bằng

A. 4;

B. 6;

C. 12;

D. $\sqrt{5}$.

Bài 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hypebol (H): $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{5}=1$. Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm nằm trên (H) đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng bao nhiêu?

A. 8;

B. 16;

C. 4;

D. 5.

Bài 9. Cho hypebol (H): 4x² – y² = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hypebol có tiêu cự bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$;                 

B. Hypebol có một tiêu điểm là $F\left(\sqrt{5};0\right)$;             

C. Hiệu các khoảng cách từ mỗi điểm thuộc hypebol đến hai tiêu điểm có giá trị tuyệt đối bằng 1;

D. Cả A, B, C đều đúng.

Bài 10. Tọa độ điểm M có tung độ dương nằm trên (P): y² = 4x sao cho khoảng cách từ M đến tiêu điểm bằng 5 là

A. (2; 2);

B. (4; 4);

C. (–2; 2);

D. (–4; 4).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Lập phương trình chính tắc của elip

• Lập phương trình chính tắc của hypebol

• Lập phương trình chính tắc của parabol

• Ứng dụng ba đường conic vào các bài toán thực tế

• Quy tắc đếm liên quan đến số tự nhiên

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---