Cách chứng minh hai phương trình tương đương lớp 8 (cực hay, có đáp án)

Bài viết Cách chứng minh hai phương trình tương đương với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh hai phương trình tương đương.

Cách chứng minh hai phương trình tương đương lớp 8 (cực hay, có đáp án)

A. Phương pháp giải

Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

 + Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.

 + Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.

* Hai qui tắc biến đổi phương trình:

 + Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

 + Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?

a) 3x = 3 và x – 1 = 0

b, x + 3 = 0 và 3x + 9 = 0.

a, Ta có 3x = 3 ⇔ 3x – 3 = 0 ⇔ 3(x – 1) = 0 ⇔ 3(x – 1) : 3 = 0 : 3 ⇔ x – 1 = 0

Vậy 3x = 3 ⇔ x – 1 = 0

b, Ta có x + 3 = 0 ⇔ 3(x + 3) = 0.3 ⇔ 3x + 9 = 0

Vậy x + 3 = 0 ⇔ 3x + 9 = 0.

Ví dụ 2: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?

a, x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0

b, 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0

Lời giải:

a, Phương trình x – 2 = 0 có tập nghiệm S = {2},

phương trình (x - 2)(x - 3) = 0 có tập nghiệm S = {2; 3}

Vậy 2 phương trình x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0 không tương đương

b, Phương trình 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3

⇒ phương trình 2x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {3}

Phương trình x(x – 3) = 0 có tập nghiệm S = {0;3}

Vậy 2 phương trình 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0 không tương đương

Ví dụ 3: Xét xem hai phương trình x + 2 = 0 và có tương đương không?

Lời giải:

Ta có x = -2 là nghiệm của phương trình x + 2 = 0.

Với x = -2 phương trình vô nghĩa.

Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Phương trình x – 1 = 0 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?

 A. x = 1 .

 B. x = -1

 C. x² + 1 = 0

 D. x² - 1 = 0

Lời giải:

Đáp án: A

Ta có x – 1 = 0 ⇔ x = 1.

Bài 2: Phương trình 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây ?

 A. x² – 4 = 0.

 B. x – 6 = 0.

 C. x = 3

 D. (x – 2)(x² + 1) = 0.

Lời giải:

Đáp án: D

Ta có (1) giải PT: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.

phương trình 3x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {2}

(2) giải PT: x² – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 ⇔

Phương trình x² – 4 = 0 có tập nghiệm S = {-2;2}

(3) giải PT: x – 6 = 0 ⇔ x = 6

Phương trình x - 6 = 0 có tập nghiệm S = {6}

(4) Phương trình x = 3 có tập nghiệm S = {3}

(5) giải PT: (x – 2)(x² + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 (vì x² + 1 ≥ 1 với mọi x)

⇔ x = 2

Phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 có tập nghiệm S = {2}

Vậy PT 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình (x – 2)(x² + 1) = 0 vì có cùng tập nghiệm.

Bài 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.

 A. x = 0 và x(x + 1) = 0 là hai phương trình tương đương.

 B. 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.

 C. x = 2 và │x│ = 2 là hai phương trình tương đương.

 D. x² = 1 và x² = x là hai phương trình tương đương.

Lời giải:

Đáp án: B

Ta có 3x + 2 = x + 8 ⇔ 2(3x + 2) = 2(x + 8) ⇔ 6x + 4 = 2x + 16.

Vậy 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.

Bài 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

 A. x – 3 = 0 và 3x = 9 là hai phương trình tương đương.

 B. 2x + 1 = 1 và 3x = 0 là hai phương trình tương đương.

 C. 2x – 4 = 0 và x² = 4 là hai phương trình tương đương.

 D. 3x + 5 = x – 3 và 2x -1 = 3x + 3 là hai phương trình tương đương.

Lời giải:

Đáp án: C

Ta có 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2; x² = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2;

Vậy hai phương trình 2x – 4 = 0 và x² = 4 không có cùng tập nghiệm, là hai phương trình không tương đương.

Bài 5: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?

a, 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10

b, 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x.

Lời giải:

a, Ta có 18x + 5 = 8x +15 ⇔ 18x – 8x = 15 – 5 ⇔ 10x = 10.

Vậy 2 phương trình 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10 là tương đương.

b, Ta có: (1) 2x – 1 = 2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x =

Phương trình 2x – 1 = 2 có tập nghiệm S = {};

(2) (2x – 1)x = 2x ⇔ (2x – 1)x - 2x = 0 ⇔ x(2x - 1 – 2) = 0

⇔ x (2x - 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x = 3 ⇔ x = 0 hoặc x =

Phương trình (2x – 1)x = 2x có tập nghiệm S = { 0; }

Vậy hai phương trình 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm

Bài 6: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?

a, 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x.

b, │3x│ = 6 và │x│ = 2.

Lời giải:

a, Ta có 2x - 3 = 9 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6;

(2x - 3)x = 9x ⇔ 2x² – 3x – 9x = 0 ⇔ 2x² – 12x = 0 ⇔ 2x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 6.

Vậy hai phương trình 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm

b, Ta có │3x│ = 6 ⇔ 3│x│ = 6 ⇔ │ x│ = 2.

Vậy 2 phương trình │3x│ = 6 và │x│ = 2 là tương đương.

Bài 7: Chứng minh hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.

Lời giải:

Ta có: ⇔ x – 3 = 4x – 2 ⇔ x – 3 + 6 = 4x – 2 + 6 ⇔ x + 3 = 4x + 4.

Vậy hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.

Bài 8: Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương đúng hay sai ? Vì sao ?

Lời giải:

Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương là sai.

Vì phương trình 2x = 4 có nghiệm x = 2. Nhưng với x = 2 thì phân thức vô nghĩa.

Vậy x = 2 không là nghiệm của phương trình .

Bài 9: Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?

a, x + 1 = x và x² + 1 = 0.

b, x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2).

Lời giải:

a, ta có x + 1 = x ⇔ 0x = 1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm;

x² + 1 = 0 ⇔ x² = -1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm

⇒ Hai phương trình x + 1 = x và x² + 1 = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm.

b, Ta có:

x + 2 = 2 ⇔ x = 2 – 2 ⇔ x = 0

PT x + 2 = 2 có tập nghiệm S = { 0}

(x + 2)(x – 2)= 2(x - 2)

⇔ (x + 2)(x – 2) - 2(x - 2) = 0

⇔ (x – 2)(x + 2 – 2) = 0

⇔ (x – 2)x = 0

⇔

Pt (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) có tập nghiệm S = {0;2}

Vậy hai phương trình x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) không tương đương vì không có cùng tập nghiệm.

Bài 10: Chứng minh các phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương:

Lời giải:

Ta có │x - 1│ = 2 ⇔ x – 1 = -2 hoặc x – 1 = 2 ⇔ x = -1 hoặc x = 3;

(x + 1)(x - 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3.

Vậy hai phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách giải phương trình tích cực hay, có đáp án
• Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay, có đáp án
• Cách xác định số nghiệm của một phương trình cực hay, có đáp án
• Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---