Cách chứng minh hai phương trình tương đương lớp 8 (cực hay, có đáp án)
Bài viết Cách chứng minh hai phương trình tương đương với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh hai phương trình tương đương.
Cách chứng minh hai phương trình tương đương lớp 8 (cực hay, có đáp án)
A. Phương pháp giải
Để chứng minh hai phương trình tương đương, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:
+ Chứng minh hai phương trình có cùng tập nghiệm.
+ Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi phương trình này thành phương trình kia.
* Hai qui tắc biến đổi phương trình:
+ Qui tắc chuyển vế: Trong một phương trình, ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.
+ Qui tắc nhân: Trong một phương trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?
a) 3x = 3 và x – 1 = 0
b, x + 3 = 0 và 3x + 9 = 0.
a, Ta có 3x = 3 ⇔ 3x – 3 = 0 ⇔ 3(x – 1) = 0 ⇔ 3(x – 1) : 3 = 0 : 3 ⇔ x – 1 = 0
Vậy 3x = 3 ⇔ x – 1 = 0
b, Ta có x + 3 = 0 ⇔ 3(x + 3) = 0.3 ⇔ 3x + 9 = 0
Vậy x + 3 = 0 ⇔ 3x + 9 = 0.
Ví dụ 2: Xét xem các phương trình sau có tương đương không?
a, x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0
b, 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0
Lời giải:
a, Phương trình x – 2 = 0 có tập nghiệm S = {2},
phương trình (x - 2)(x - 3) = 0 có tập nghiệm S = {2; 3}
Vậy 2 phương trình x - 2 = 0 và (x - 2)(x - 3) = 0 không tương đương
b, Phương trình 2x – 6 = 0 ⇔ 2x = 6 ⇔ x = 3
⇒ phương trình 2x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {3}
Phương trình x(x – 3) = 0 có tập nghiệm S = {0;3}
Vậy 2 phương trình 2x - 6 = 0 và x(x - 3) = 0 không tương đương
Ví dụ 3: Xét xem hai phương trình x + 2 = 0 và có tương đương không?
Lời giải:
Ta có x = -2 là nghiệm của phương trình x + 2 = 0.
Với x = -2 phương trình vô nghĩa.
Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1: Phương trình x – 1 = 0 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?
A. x = 1 .
B. x = -1
C. x2 + 1 = 0
D. x2 - 1 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
Ta có x – 1 = 0 ⇔ x = 1.
Bài 2: Phương trình 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình nào sau đây ?
A. x2 – 4 = 0.
B. x – 6 = 0.
C. x = 3
D. (x – 2)(x2 + 1) = 0.
Lời giải:
Đáp án: D
Ta có (1) giải PT: 3x – 6 = 0 ⇔ 3x = 6 ⇔ x = 2.
phương trình 3x – 6 = 0 có tập nghiệm S = {2}
(2) giải PT: x2 – 4 = 0 ⇔ (x + 2)(x – 2) = 0 ⇔
Phương trình x2 – 4 = 0 có tập nghiệm S = {-2;2}
(3) giải PT: x – 6 = 0 ⇔ x = 6
Phương trình x - 6 = 0 có tập nghiệm S = {6}
(4) Phương trình x = 3 có tập nghiệm S = {3}
(5) giải PT: (x – 2)(x2 + 1) = 0 ⇔ x – 2 = 0 (vì x2 + 1 ≥ 1 với mọi x)
⇔ x = 2
Phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 có tập nghiệm S = {2}
Vậy PT 3x – 6 = 0 tương đương với phương trình (x – 2)(x2 + 1) = 0 vì có cùng tập nghiệm.
Bài 3: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng.
A. x = 0 và x(x + 1) = 0 là hai phương trình tương đương.
B. 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.
C. x = 2 và │x│ = 2 là hai phương trình tương đương.
D. x2 = 1 và x2 = x là hai phương trình tương đương.
Lời giải:
Đáp án: B
Ta có 3x + 2 = x + 8 ⇔ 2(3x + 2) = 2(x + 8) ⇔ 6x + 4 = 2x + 16.
Vậy 3x + 2 = x + 8 và 6x + 4 = 2x + 16 là hai phương trình tương đương.
Bài 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. x – 3 = 0 và 3x = 9 là hai phương trình tương đương.
B. 2x + 1 = 1 và 3x = 0 là hai phương trình tương đương.
C. 2x – 4 = 0 và x2 = 4 là hai phương trình tương đương.
D. 3x + 5 = x – 3 và 2x -1 = 3x + 3 là hai phương trình tương đương.
Lời giải:
Đáp án: C
Ta có 2x – 4 = 0 ⇔ 2x = 4 ⇔ x = 2; x2 = 4 ⇔ x = 2 hoặc x = -2;
Vậy hai phương trình 2x – 4 = 0 và x2 = 4 không có cùng tập nghiệm, là hai phương trình không tương đương.
Bài 5: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?
a, 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10
b, 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x.
Lời giải:
a, Ta có 18x + 5 = 8x +15 ⇔ 18x – 8x = 15 – 5 ⇔ 10x = 10.
Vậy 2 phương trình 18x + 5 = 8x + 15 và 10x = 10 là tương đương.
b, Ta có: (1) 2x – 1 = 2 ⇔ 2x = 3 ⇔ x =
Phương trình 2x – 1 = 2 có tập nghiệm S = {};
(2) (2x – 1)x = 2x ⇔ (2x – 1)x - 2x = 0 ⇔ x(2x - 1 – 2) = 0
⇔ x (2x - 3) = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2x = 3 ⇔ x = 0 hoặc x =
Phương trình (2x – 1)x = 2x có tập nghiệm S = { 0; }
Vậy hai phương trình 2x – 1 = 2 và (2x – 1)x = 2x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm
Bài 6: Xét sự tương đương của các phương trình sau ?
a, 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x.
b, │3x│ = 6 và │x│ = 2.
Lời giải:
a, Ta có 2x - 3 = 9 ⇔ 2x = 12 ⇔ x = 6;
(2x - 3)x = 9x ⇔ 2x2 – 3x – 9x = 0 ⇔ 2x2 – 12x = 0 ⇔ 2x(x – 6) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 6.
Vậy hai phương trình 2x - 3 = 9 và (2x - 3)x = 9x không tương đương vì không có cùng tập nghiệm
b, Ta có │3x│ = 6 ⇔ 3│x│ = 6 ⇔ │ x│ = 2.
Vậy 2 phương trình │3x│ = 6 và │x│ = 2 là tương đương.
Bài 7: Chứng minh hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.
Lời giải:
Ta có: ⇔ x – 3 = 4x – 2 ⇔ x – 3 + 6 = 4x – 2 + 6 ⇔ x + 3 = 4x + 4.
Vậy hai phương trình và x + 3 = 4x + 4 tương đương.
Bài 8: Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương đúng hay sai ? Vì sao ?
Lời giải:
Khẳng định và 2x = 4 là hai phương trình tương đương là sai.
Vì phương trình 2x = 4 có nghiệm x = 2. Nhưng với x = 2 thì phân thức vô nghĩa.
Vậy x = 2 không là nghiệm của phương trình .
Bài 9: Xét xem các phương trình sau có tương đương hay không?
a, x + 1 = x và x2 + 1 = 0.
b, x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2).
Lời giải:
a, ta có x + 1 = x ⇔ 0x = 1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm;
x2 + 1 = 0 ⇔ x2 = -1 (vô lí) ⇒ phương trình vô nghiệm
⇒ Hai phương trình x + 1 = x và x2 + 1 = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm.
b, Ta có:
x + 2 = 2 ⇔ x = 2 – 2 ⇔ x = 0
PT x + 2 = 2 có tập nghiệm S = { 0}
(x + 2)(x – 2)= 2(x - 2)
⇔ (x + 2)(x – 2) - 2(x - 2) = 0
⇔ (x – 2)(x + 2 – 2) = 0
⇔ (x – 2)x = 0
⇔
Pt (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) có tập nghiệm S = {0;2}
Vậy hai phương trình x + 2 = 2 và (x + 2)(x – 2)= 2(x - 2) không tương đương vì không có cùng tập nghiệm.
Bài 10: Chứng minh các phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương:
Lời giải:
Ta có │x - 1│ = 2 ⇔ x – 1 = -2 hoặc x – 1 = 2 ⇔ x = -1 hoặc x = 3;
(x + 1)(x - 3) = 0 ⇔ x + 1 = 0 hoặc x – 3 = 0 ⇔ x = -1 hoặc x = 3.
Vậy hai phương trình │x - 1│ = 2 và (x + 1)(x - 3) = 0 tương đương vì có cùng tập nghiệm
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách giải phương trình tích cực hay, có đáp án
- Cách giải phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay, có đáp án
- Cách xác định số nghiệm của một phương trình cực hay, có đáp án
- Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình cực hay: Bài toán so sánh, thêm bớt
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee giá ưu đãi :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều