Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi

Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi

A. Phương pháp giải

1. Sử dụng định nghĩa hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇔ AB = BC = CD = DA. 

2. Áp dụng các tính chất của hình thoi.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau. 

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

3. Xác định tam giác vuông chứa đoạn cần tính để áp dụng định lí Py-ta-go.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Hai đường chéo của một hình thoi bằng 8cm và 10cm. Hỏi cạnh của hình thoi bằng bao nhiêu?

Giải

Xét hình thoi ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AC = 10cm, BD = 8cm. Vì hình thoi có tất cả các cạnh bằng nhau nên ta chỉ cần tính một cạnh, chẳng hạn cạnh BC. Áp dụng tính chất về đường chéo và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được

⇒ΔBOC  vuông tại O và có hai cạnh góc vuông là 4cm và 5cm.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông BOC, ta được

Vậy cạnh của hình thoi là  cm.

Ví dụ 2. Cho hình thoi ABCD có góc A tù. Biết đường cao kẻ từ đỉnh A đến cạnh CD chia đôi cạnh đó. Tính các góc của hình thoi.

Giải

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến cạnh CD và từ giả thiết, ta có:

⇒AH  là đường trung trực của đoạn CD nên AC = AD (1)

Áp dụng định nghĩa vào hình thoi ABCD, ta được AD = CD   (2) 

Từ (1) và (2) suy ra AC = CD = DA nên tam giác ACD là tam giác đều, do đó  

Vì góc D và góc BAD là hai góc trong cùng phía của AB//CD nên chúng bù nhau hay 

Áp dụng tính chất về góc vào hình thoi ta được

Ví dụ 3. Chứng minh rằng các đường cao của hình thoi bằng nhau. 

Giải

Xét hình thoi ABCD, kẻ hai đường cao .

Ta phải chứng minh AH = AK.

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: 

(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn). 

Suy ra AH = AK.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hình thoi có chu vi bằng 20cm thì độ dài cạnh của nó bằng

A. 4cm.

B. 5cm.

C. 8cm.

D. Cả A, B, C đều sai.

Lời giải:

Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0). 

Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 20 ⇔ a = 5 cm.

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 5cm.

Đáp án: B.

Câu 2. Hình thoi có chu vi bằng 36cm thì độ dài cạnh của nó bằng.

A. 12 cm.

B. 4 cm.

C. 9 cm.

D. Đáp án khác.

Lời giải:

Gọi cạnh của hình thoi là a cm (a > 0). Vì hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình thoi là 4a = 36 ⇔ a = 9 cm.

Vậy cạnh hình thoi có độ dài là 9cm.

Đáp án: C.

Câu 3. Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi. Hãy chọn câu đúng.

     

Lời giải:

Vì chu vi hình thoi là 16cm nên cạnh hình thoi có độ dài 16 : 4 = 4cm. Suy ra AD = 4cm.

Xét tam giác AHD vuông tại H có

(tính chất)

Suy ra 

(vì ABCD là hình thoi) 

Hình thoi ABCD có  

(vì hai góc đối bằng nhau).

Đáp án: A.

Câu 4. Cho hình thoi ABCD có chu vi bằng 24cm, đường cao AH bằng 3cm. Tính  .

Lời giải:

Vì chu vi hình thoi là 24cm nên cạnh hình thoi có độ dài 24 : 4 = 6 cm. Suy ra AD = 6cm. Xét tam giác AHD vuông tại H có:  

(tính chất) 

Suy ra  

(vì ABCD là hình thoi) 

Nên hình thoi ABCD có:  

(vì hai góc đối bằng nhau).

Lại có: CA là tia phân giác  (tính chất hình thoi) nên

 

Đáp án: D.

Câu 5. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 24cm và 10cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

A. 12cm.

B. 13cm.

C. 14cm.

D. 15cm.

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo cắt nhau tại H và AC = 10cm, BD = 24cm. Do ABCD là hình thoi nên:

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có:  

Suy ra AB = 13cm.

Đáp án: B.

Câu 6. Cho hình thoi có độ dài hai đường chéo là 12cm và 16cm. Tính độ dài cạnh hình thoi.

A. 12 cm.

B. 8 cm.

C. 20 cm.

D. 10 cm.

Lời giải:

Giả sử ABCD là hình thoi có hai đường chéo AC = 12cm, BD = 16cm. Do ABCD là hình thoi nên:

Xét tam giác AHB vuông tại H ta có: 

Suy ra AB = 10cm.

Đáp án: D.

Câu 7. Cho hình thoi ABCD. Trên các cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho BE = DF. Gọi G, H thứ tự là giao điểm của AE, AF với đường chéo BD. Cho OC = 4; OH = 3 với O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính chu vi tứ giác AHCG.

A. 20 cm.

B. 24 cm.

C. 16 cm.

D. 8 cm.

Lời giải:

Có O là giao điểm của AC và BD thì  (do O là giao điểm của hai đường chéo của hình thoi)

Áp dụng định nghĩa, tính chất về góc và giả thiết vào hình thoi ABCD, ta được: 

Xét tam giác AGH có AO là đường cao, đồng thời là đường phân giác nên tam giác AGH cân tại A.

Suy ra: HO = OG (2)

Do ABCD là hình thoi nên AO = OC (tính chất đường chéo của hình thoi) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: AHCG là hình thoi.

Vì OC = 4; OH = 3 nên trong tam giác vuông OCH có   

(định lý Pytago).

Chu vi hình thoi AHCG bằng 4.CH = 4.5 = 20 cm.

Đáp án: A.

Câu 8. Cho tứ giác ABCD có . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Tính số đo góc EFC.

A. 75⁰ .

B. 95⁰ .

C. 105⁰ . 

D. 120⁰ .

Lời giải:

Gọi G, H lần lượt là trung điểm của AC, BD. 

Vì E, G lần lượt là trung điểm của AB, AC nên EG là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra 

Chứng minh tương tự ta cũng có: 

Mà AD = BC (gt), nên EG = GF = FH = HE. 

Suy ra: tứ giác EGFH là hình thoi. 

Suy ra EF là tia phân giác của góc 

Đáp án: C.

Câu 9. Cho tam giác ABC đều, H là trực tâm, đường cao AD. M là điểm bất kì trên trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC, gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AM, ID cắt EF tại K.

Chọn câu sai.

A. M, H, K thẳng hàng. 

B. ΔIED đều. 

C. Tứ giác EIFD là hình thoi. 

D. ID>IF.  

Lời giải:

Tam giác EAM vuông tại E, EI là đường trung tuyến nên:

Từ EI = IA suy ra tam giác IAE cân tại I, từ đó có:   

(góc ngoài của tam giác).

Chứng minh tương tự với tam giác vuông ADM ta có: 

Do đó:

Tam giác IED cân (vì EI = DI) có:  nên là tam giác đều, từ đó EI = ED = ID.

Tương tự tam giác IDF đều suy ra: ID = DF = IF.

Do đó EI = ED = DF = IF. Suy ra tứ giác EIFD là hình thoi.

Suy ra K là trung điểm chung của EF và ID.

Gọi N là trung điểm của AH.

Tam giác ABC đều có H là trực tâm của tam giác ABC nên H cũng là trọng tâm tam giác.

Do đó AN = NH = HD.

Ta có: MH // IN (vì IN là đường trung bình của tam giác AMH) và KH // IN (vì KH là đường trung bình của tam giác DIN).

Từ H ta chỉ vẽ được một đường thẳng song song với IN (tiên đề Ơ – Clit) nên M, H, K thẳng hàng.

Vậy D sai vì ID = IF

Đáp án: D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình thoi
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi
• Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuông
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---