Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông

Với Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và các tính chất của hình vuông

• Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.
• Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.
• Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng AM = BN.

Giải

 

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD, ta được 

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Trên hai cạnh BC, CD lấy hai điểm M, N sao cho , trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BM.

Hãy tính: 

a) Số đo góc KAN. 

b) Chu vi tam giác MCN theo a. 

Giải

 

a) Xét hai tam giác vuông ABM và ADK có 

 

Áp dụng kết quả của hai tam giác bằng nhau ở trên và giả thiết, ta có: 

 

b) Đặt BM = DK = x thì KN = x + DN, MC = a – x, CN = a – DN. 

Xét hai tam giác AMN và AKN có

AN chung

Vậy chu vi tam giác MNC bằng MC + NC + NM = MC + NC + KN = a – x + a – DN + x + DN = 2a.

Ví dụ 3. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, qua A kẻ   (điểm N thuộc tia đối của tia DC). Chứng minh rằng: AM = AN.

Giải

Ta có  

Xét hai tam giác vuông ABM và AND có:

AB = AD

Do đó AM = AN.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình vuông có chu vi 28 cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 4 cm.

B. 7 cm.

C. 14 cm.

D. 8 cm.

Lời giải:

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh) 

Từ giả thiết ta có 4a = 28 ⇔  a = 7cm . Vậy cạnh hình vuông là a = 7cm.

Đáp án: B.

Câu 2. Cho hình vuông có chu vi 32cm. Độ dài cạnh hình vuông là:

A. 10 cm. 

B. 15 cm.

C. 5 cm.

D. 8 cm.

Lời giải:

Hình vuông có bốn cạnh bằng nhau nên chu vi hình vuông bằng 4a (a là độ dài một cạnh) Từ giả thiết ta có: 4a = 32 ⇔ a = 8 cm. Vậy cạnh hình vuông là a = 8 cm.

Đáp án: D.

Câu 3. Cho hình vuông có chu vi 16 cm. Bình phương độ dài một đường chéo của hình vuông là:

A. 32. 

B. 16.

C. 24.

D. 18.

Lời giải:

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 16 cm. Khi đó

4AB = 16 ⇒  AB = 4 = BC = CD = DA. 

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Py-ta-go ta có:

 

Vậy bình phương độ dài một đường chéo là 32.

Đáp án: A.

Câu 4. Cho hình vuông có chu vi 20cm. Bình phương độ dài đường chéo của hình vuông là:

A. 32. 

B. 50.

C. 25. 

D. 25.

Lời giải:

Gọi hình vuông ABCD có chu vi là 20 cm. Khi đó: 

4AB = 20  ⇒ AB = 5 = BC = CD = DA. 

Xét tam giác ABC vuông tại B, theo định lý Pytago ta có  

Vậy bình phương độ dài đường chéo là 50.

Đáp án: B.

Câu 5. Cho hình vuông ABCD. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Hãy chọn câu đúng.

Lời giải:

Gọi cạnh của hình vuông ABCD là a. Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có 

 

Từ đó 4 tam giác vuông bằng nhau là 

Suy ra  

Lại có  .

Nên  

Đáp án: C.

Câu 6. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ , FH cắt BC ở K. Tính độ dài AH

Lời giải:

Xét tam giác ADF và AHF có:

AF chung

 

Đáp án: A.

Câu 7. Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm nằm giữa C và D. Tia phân giác của góc DAE cắt CD ở F. Kẻ , FF cắt BC ở K. Tính số đo góc FAK.

Lời giải:

Xét tam giác ADF và AHF có:

AF chung

Xét tam giác AHK và ABK có:

AK chung

Đáp án: B.

Câu 8. Cho hình vuông ABCD cạnh 8cm. M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, CA. Tính diện tích tứ giác MNPQ.

Lời giải:

Vì ABCD là hình vuông và M, N, P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA nên ta có 

Đáp án: D.

Câu 9. Cho một hình vuông cạnh dài 1m. Vẽ hình vuông thứ hai nhận đường chéo của hình vuông đã cho làm cạnh. Tính độ dài đường chéo của hình vuông này.

A. 1m

B. 2m

C. 4m

D. 5m

Lời giải:

Xét hình vuông ABCD có AB = BC = 1m. Ta đi dựng hình vuông nhận đường chéo AC làm cạnh để tính đường chéo của hình vuông mới này.

Trên tia đối của tia BA lấy điểm E, tia đối của tia BC lấy điểm F sao cho BE = BF = 1m. Ta được tứ giác AFEC có hai đường chéo bằng nhau, vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình vuông cạnh AC. Hình vuông này có đường chéo AE = 2m.

Đáp án: B.

Câu 10. Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc cạnh CD. Tia phân giác của góc ABE cắt AD ở K. Chọn câu đúng.

Lời giải:

Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho CM = AK. 

Ta có: AK + CE = CM + CE = EM. 

Ta cần chứng minh EM = BE. 

Xét ΔABK và ΔMBC có: 

AK = CM ( cách vẽ).

Ta có:

 

Suy ra: tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân). 

⇒BE = EM.

⇒AK + CE = CM + CE = EM = BE.

⇒AK + CE = BE

Đáp án: A.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi
• Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuông
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---