Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

Với Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa và các tính chất của hình vuông

- Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông và có bốn cạnh bằng nhau.

- Hình vuông có tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi.

- Đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau vừa vuông góc với nhau.

* Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh CD lấy điểm N sao cho BM = CN. Chứng minh rằng .

Giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình vuông ABCD ta được:  

 

Gọi I là giao điểm của AM và BN.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác vuông ABM và BCN, kết quả của hai tam giác bằng nhau, ta được: 

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác BIM ta có

Từ (1) và (2) suy ra   hay  .

Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối của tia CB lấy điểm M, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho BM = DN. Vẽ hình bình hành MANF, gọi O là trung điểm của AF. Chứng minh rằng  .

Giải

Xét hai tam giác ABM vuông tại B và AND vuông tại D có:

AB = AD (ABCD là hình vuông)

BM = DN (gt)

Suy ra  (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)  

Hình bình hành MANF có hai cạnh kề AM và AN bằng nhau nên là hình thoi.

Do góc MAD phụ với góc MAB nên góc MAD phụ với DAN hay  .

Điều này chứng tỏ hình thoi MANF là hình vuông vì hình thoi có một góc vuông.

Kẻ FH, FK theo thứ tự vuông góc với hai đường thẳng BC, NC thu được tứ giác KCHF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật, suy ra  .

Lại có vì là góc của hình vuông nên do cùng phụ với .

Xét tam giác FKN vuông tại K và FHM vuông tại H có:

NF = MF (MANF là hình vuông)

Điều này chứng tỏ F cách đều hai cạnh CM, CN của góc MCN nên F thuộc tia phân giác của góc MCN.

Kết hợp với tính chất về đường chéo của hình vuông ta có: 

Ví dụ 3.  Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC lấy M bất kì. Trên cạnh AD lấy N sao cho AM = AN. Kẻ , AH cắt CD tại E. Tính số đo  .

Giải

Hai tam giác vuông ABN và DAE có:

Xét tứ giác BMEC có BM//CE, BM = CE,  . Do đó BMEC là hình chữ nhật.

Gọi O là giao điểm hai đường chéo BE và CM, ta có OB = OE = OC = OM.

Mặt khác ta có tam giác BHE vuông tại H có HO là trung tuyến

⇒OH = OB = OE (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông)

⇒OH = OC = OM

⇒ΔMHC  vuông tại H hay  .

Ví dụ 4. Cho hình vuông ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Vẽ tia phân giác của cắt đường chéo BD tại E và cạnh BC tại F. Vẽ . Chứng minh rằng  .

Giải

Xét hai tam giác vuông AMF và ABF có:

 

Do ABCD là hình vuông nên đường chéo BD là đường phân giác của  

AC là đường phân giác của

AF là phân giác của  

 

Xét tam giác ABF có  

Xét tam giác BAE có góc ngoài đỉnh E là 

Vậy tam giác BEF cân tại B ⇒ BE = BF. (2)

Tương tự ta chứng minh được ME = MF. (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra tứ giác BEMF là hình thoi.

Áp dụng tính chất đường chéo của hình thoi ta được  .

B. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. AB = 2AD = 2CD. Gọi H là chân đường cao của C trên AB. Chứng minh rằng AC ⊥ BC.

Lời giải:

Vì tứ giác AHCD là hình chữ nhật có AD = CD nên AHCD là hình vuông.

Khi đó AH = CD nên H là trung điểm của AB.

CH = CD = $\frac{1}{2}$AB, nên ta có tam giác ABC vuông tại C.

Suy ra AC ⊥ BC.

Bài 2. Cho hình vuông ABCD. Lần lượt lấy các điểm M, N, P thuộc các cạnh AB, BC, CD thỏa mãn: MA = NB = PC. Từ N kẻ đường vuông góc với PM cắt AD tại Q. Chứng minh rằng MQ ⊥ PQ.

Lời giải:

Có MA = NB = PC => MB = NC = PD.

Do đó ∆BMN = ∆CNP (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Khi đó: MN = NP

Lại có: NQ ⊥ MP (giả thiết)

Suy ra NQ là đường trung trực của MP.

Gọi O là tâm của hình vuông nên O = NQ ∩ MP

Hay O là trung điểm của MP và NQ nên MNPQ là hình vuông.

Suy ra MQ ⊥ PQ.

Bài 3. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E nằm trên AB (không cùng phía A so với B). Lấy điểm F trên BC (không cùng phía B so với C). Biết AE = CF. Gọi O là trung điểm của EF. Lấy M sao cho O là trung điểm của DM. Chứng minh rằng DM ⊥ EF.

Lời giải:

Vì O là trung điểm của EF và MD nên EMFD là hình bình hành.

Xét 2 tam giác vuông ADE và CDF:

AD = CD; AE = CF

Do đó ∆ADE = ∆CDF (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Khi đó DE = DF (hai cạnh tương ứng).

Suy ra EMDF là hình thoi, nên DM ⊥ EF.

Bài 4. Cho tam giác ABC, có góc $\widehat{BAC}=45°$. Trong tam giác, các đường cao cắt nhau tại H. Lần lượt lấy các trung điểm của AB, AC, HC và HB là M, N, P, Q. Chứng minh rằng MP ⊥ NQ.

Lời giải:

Ta có MN, PQ là đường trung bình của các tam giác ABC và HBC

Suy ra MN // PQ và MN = PQ

Khi đó, tứ giác MNPQ là hình bình hành

Có $\widehat{BAC}=45°$ => $\widehat{ABH}=\widehat{ACH}=45°$ (cùng phụ với $\widehat{BAC}$)

Suy ra AK = BK, HK = CK

Do đó ∆AHK = ∆CBK (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BC (hai cạnh tương ứng).

Hai đoạn thẳng MN và NP là các đường trung bình của tam giác ABC và AHC

Do đó: MN = NP (do AH = BC), MN ⊥ NP (do AH ⊥ BC).

Nên MNPQ là hình vuông

Vậy MP ⊥ NQ.

Bài 5. Cho hình bình hành ABCD. Dựng các hình vuông bên ngoài hình bình hành sao cho mỗi hình vuông có một cạnh là một cạnh của ABCD. Các hình vuông này có các tâm là E, F, G, H. Chứng minh rằng EG ⊥ HF.

Lời giải:

Hai hình vuông tâm F và tâm H là hai hình vuông bằng nhau, hai cạnh AB // CD.

Khi đó hai đường chéo IB // DM và IB = DM

=> FH // ID (1)

Tương tự: EG // DK (2)

Xét ∆AID và ∆CDK có:

AI = AB = CD

AD = BC = CK

Hay ID ⊥ DK (3)

Từ (1), (2) và (3), ta kết luận HF ⊥ EG.

Bài 6. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M ∈ AB (M khác A và B). Tia DM cắt tia CB tại E. Đường thẳng CM cắt AE tại N. Chứng minh rằng đường thẳng DE vuông góc với đường thẳng BN.

Bài 7. Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh CD lấy điểm E, trên tia đối của tia DC lấy điểm H, trên tia đối của tia AC lấy điểm M sao cho CE = DH = MA. Dựng hình vuông DHIK (K ∈ AD). Chứng minh rằng AM ⊥ BI.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông ở A. Lấy D, E thuộc BA, CA sao cho CE = DB. Gọi M, N, P, Q là trung điểm của các cạnh DE, BE, BC, DC. Chứng minh rằng MP ⊥ NQ.

Bài 9. Cho tam giác ABC. Dựng các hình vuông BAED và CAGF bên ngoài tam giác. Chứng minh rằng CE ⊥ BG.

Bài 10. Cho tam giác ABC. Dựng các hình vuông BAED và CAGF bên ngoài tam giác. Hai hình vuông lần lượt có Q và N là tâm. Lấy M là trung điểm của BC, P là trung điểm của EQ. Chứng minh rằng PM ⊥ QN.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi
• Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuông
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---