Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi

Với Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình thoi

A. Phương pháp giải

1. Sử dụng định nghĩa hình thoi

Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. 

Tứ giác ABCD là hình thoi ⇔ AB = BC = CD = DA. 

2. Áp dụng các tính chất của hình thoi.

Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành. Nhưng cần chú ý các tính chất về đường chéo. Trong hình thoi:

a) Hai đường chéo vuông góc với nhau. 

b) Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc của hình thoi.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình thang cân ABCD có AB//CD và M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng .

Lời giải

Ta phải chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi. Từ giả thiết ta có MN, NP, PQ, QM thứ tự là các đường trung bình của bốn tam giác ABC, BCD, ACD và ABD.

Áp dụng định lí đường trung bình vào bốn tam giác trên và tính chất về đường chéo vào hình thang cân ABCD, ta được:

 

Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nó nên là hình thoi.

Suy ra hai đường chéo của hình thoi MNPQ vuông góc với nhau hay  .

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE. Gọi M, N, P, Q thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE và BC. Chứng minh rằng MN vuông góc với PQ.

Giải

Từ giả thiết ta có MP, NP, NQ, QM lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BDE, ECD, DCB, BEC (định nghĩa đường trung bình).  

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được:

Mà BD = CE (gt)

Suy ra MP = NQ = NP = QM.

Tứ giác MPNQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi MPNQ ta được:  .

Ví dụ 3. Tứ giác ABCD có AB = CD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AC, BD. Chọn câu đúng nhất.

A. IK vuông góc với MN.

B. MN là phân giác  .

C. Cả A, B đều đúng.

D. Cả A, B đều sai.

Giải

Từ giả thiết ta có: KM; IM; IN; KN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác BCD, CAB, ADC, DBA. (định nghĩa đường trung bình). 

Áp dụng định lý đường trung bình và giả thiết vào bốn tam giác trên ta được: 

Mà AB = CD

Suy ra MK = KN = NI = IM. 

Tứ giác KMIN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi. 

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi KMIN ta được: ; MN là đường phân giác .

Đáp án: C.

Ví dụ 4. Cho hình bình hành ABCD có . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Chứng minh rằng  .

Giải

Áp dụng định nghĩa và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được: 

nên ΔABC vuông ở A, ΔADC vuông ở C. Do M, N là trung điểm của AD, BC theo giả thiết nên AN, CM thứ tự là trung tuyến ứng với cạnh huyền của hai tam giác vuông ABC, ACD.

Áp dụng định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền vào hai tam giác vuông trên, tính chất về cạnh và giả thiết vào hình bình hành ABCD, ta được:

Tứ giác AMCN có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi AMCN ta được  .

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao BD và CE. Gọi M là trung điểm của BC, I và K lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB và AC, H là trung điểm của DE. Chứng minh rằng .

Giải

Do tam giác ABC cân tại A (giả thiết) nên BD = CE (trong một tam giác cân, đường cao tương ứng với hai cạnh bên bằng nhau)

Tam giác BED có I là trung điểm của BE (giả thiết), H là trung điểm của ED (giả thiết)

⇒ IH là đường trung bình nên IH//BD và 

Chứng minh tương tự ta cũng được MK là đường trung bình của ∆BDC  nên MK//BD và 

Từ (1) và (2) suy ra

⇒ IHKM là hình bình hành

Tam giác CDE có H là trung điểm của cạnh DE (giả thiết), K là trung điểm của cạnh CD (giả thiết)

⇒ HK là đường trung bình 

Do BD = CE (cmt) Nên

⇒IHKM là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình thoi IHKM ta được .

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hình lục giác đều ABCDEF có O là tâm của đa giác. Chứng minh: AO ⊥ CE.

Lời giải:

Với ABCDEF là hình lục giác đều, ta có OCD và ODE là hai tam giác đều.

Suy ra OCDE là một hình thoi.

Theo tính chất của một hình thoi: CE ⊥ OD.

Mà OD ≡ AO nên AO ⊥ CE.

Bài 2. Cho hình thang cân ABCD có AB = AD; CB = 2AB. Trên CD lấy M là trung điểm. Chứng minh cặp đoạn thẳng AM và BD vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có: BM = $\frac{1}{2}$BC = AD nên ABMD là hình bình hành.

Mà AB = AD

Do đó, ABMD là một hình thoi.

Theo tính chất của hì.nh thoi, ta có: AM ^ BD.

Bài 3. Cho hình bình hành ABCD, khi M di chuyển trên đường thẳng BD luôn thỏa mãn điều kiện: AM = CM. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng AC và BD vuông góc với nhau.

Lời giải:

Lấy M ≡ B suy ra AM = CM nên AB = CB.

Suy ra ABCD là hình thoi.

Theo tính chất của hình thoi, ta có: AC vuông góc với BD.

Bài 4. Một tứ giác ABCD có hai đường chéo BD AC và vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi E, F, I, K theo thứ tự là trung điểm của các cạnh MN, NP, PQ, QM. Chứng minh EI ⊥ FK.

Lời giải:

Ta có MN // PQ // AC, MN = PQ = $\frac{1}{2}$AC

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có: MN // AC, NP // BD mà AC ⊥ BD

Suy ra MN ⊥ NP hay MNPQ là hình chữ nhật

Xét tứ giác EFIK ta có:

$\left\{\begin{array}{l}EK//IF//NQ\\ EK=IF=\frac{1}{2}NQ\end{array}\right.$ => EFIK là hình bình hành.

Mà EF = $\frac{1}{2}$MP = $\frac{1}{2}$NQ (MNPQ là hình chữ nhật nên hai đường chéo bằng nhau).

Suy ra EF = EK nên EFIK là hình thoi.

Từ tính chất của hình thoi suy ra EI ⊥ FK.

Bài 5. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo là AC và BD cùng có độ dài a. Gọi E, F, G, H lần lượt là các trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai đoạn thẳng EG và HF vuông góc với nhau.

Lời giải:

Ta có:

Suy ra EFGH là hình thoi nên EG ⊥ HF.

Bài 6. Cho hình thang cân ABCD, đáy lớn CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường chéo BD và AC. Trên AB, CD lấy I, J lần lượt là các trung điểm của các đoạn thẳng này. Chứng minh rằng IJ ⊥ MN.

Bài 7. Cho hình tròn tâm O, đường kính AB = CD = 2R. Biết ∆AOD là tam giác cân ở A. Đường phân giác của $\widehat{AOC}$ cắt đường tròn tại điểm E. Chứng minh O là trực tâm của ∆BDE.

Bài 8. Cho hình thoi ABCD tâm O. Biết M, N là các trung điểm của AB và CD. Qua O, kẻ đường thẳng vuông góc với BC và AD, lần lượt cắt hai đường thẳng này tại E và F. Chứng minh MN ⊥ EF.

Bài 9. Cho hai đường tròn (A, r) và (B, r) biết hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm C và D, AB = r. Chứng minh rằng AB ⊥ CD.

Bài 10. Cho hình thoi ABCD, lấy đối xứng điểm A qua B ta được điểm A'. Biết $\widehat{BAD}=60°$. Chứng minh rằng A'D vuông góc với BC.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình thoi
• Cách chứng minh tứ giác là hình vuông (hay, chi tiết)
• Tìm điều kiện của hình A để hình B trở thành hình vuông
• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau trong hình vuông
• Chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa vào hình vuông

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---