Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thang

Với Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thang môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Tính độ dài đoạn thẳng dựa vào đường trung bình của tam giác, hình thang

A. Phương pháp giải. 

Sử dụng: 

• Định lí đường trung bình của tam giác, của hình thang. 
• Tính chất về góc trong tam giác.
• Tính chất hai góc ở vị trí so le hoặc đồng vị của hai đường thẳng song song.
• Trong một tam giác, đối diện với hai cạnh bằng nhau là hai góc bằng nhau và ngược lại.
• Tính chất góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.
• Tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính x ở hình sau: (Cho DE // BC)

Giải

 

Ta có DE // BC .                          (1)

Lại có AE = EC = 8cm.                (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = BD hay x = 10 cm.

Vậy x = 10 cm.

Ví dụ 2. Tính x, y trên hình sau:

Giải

Trên hình ta thấy CD, EF lần lượt là đường trung bình của hình thang AEFB và CDHG.

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai hình thang trên, ta được:

Vậy x = 12 cm, y = 20 cm.

Ví dụ 3. Độ dài đường trung bình của hình thang là 16cm, hai đáy tỷ lệ với 3 và 5 thì độ dài hai đáy là?

Giải

Gọi  lần lượt là độ dài đáy nhỏ, đáy lớn của hình thang.

Theo định lí đường trung bình của hình thang suy ra  a+b=2.16=32(cm).

Mặt khác theo bài ra  tỉ lệ với 3 và 5 nên ta có: 

 

Theo định lí của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Vậy độ dài hai đáy của hình thang là 12 cm, 20 cm.

C. Bài tập vận dụng.

Câu 1. Hãy chọn câu đúng?

Cho tam giác ABC có chu vi là 32 cm. Gọi E, F, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Chu vi của tam giác EFP là?

A. 17cm.                     B. 33cm.                 C. 15cm.                 D. 16cm.

Lời giải:

Vì E, F, P là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA nên EF; EP; FP là các đường trung bình của tam giác ABC. 

Suy ra  

 

hay chu vi tam giác EFP bằng 1/2 chu vi tam giác ABC.

Do đó chu vi tam giác EFP là  32:2=16(cm).

Đáp án: D.

Câu 2. Một hình thang có đáy lớn là 5cm, đáy nhỏ ngắn hơn đáy lớn là 0,8cm. Độ dài đường trung bình của hình thang là:

A. 4,7cm.                    B. 4,8cm.                C. 4,6cm.                D. 5cm.

Lời giải:

Vì đáy nhỏ ngắn hơn đáy lớn 0,8 cm nên độ dài đáy nhỏ là 5 – 0,8 = 4,2 cm. 

Vì đường trung bình của hình thang bằng nửa tổng hai đáy nên độ dài đường trung bình là 

Đáp án: C.

Câu 3. Cho tam giác ABC , I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC. Biết BC = 8cm, AC = 7cm. Độ dài IK bằng 

A. IK = 4 cm.    B. IK = 4,5 cm.       C. IK = 3,5 cm.       D. IK = 14 cm.

Lời giải:

Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và AC nên IK là đường trung bình của tam giác ABC.

Vậy IK = 4 cm.

Đáp án: A.

Câu 4. Cho ΔABC đều, cạnh 2cm, M, N là trung điểm của AB và AC. Chu vi của tứ giác MNCB bằng:

A. 5cm.             B. 6cm.                   C. 4cm.                   D. 7cm.

Lời giải:

Vì M, N là trung điểm của AB và AC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.

 

Chu vi tứ giác MNCB là P = MN + BC + MB + NC = 1 + 1 + 1 + 2 = 5cm.

Đáp án: A.

Câu 5. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC, F là trung điểm của EC. Chọn câu đúng trong các câu sau:

A.            B. AE = 2EC.          C. FC = AF.            D. MF = BE.              

Lời giải:

Xét tam giác BEC có BM = MC, EF = FC nên MF là đường trung bình của tam giác BEC. Do đó MF//BE . 

Xét tam giác AMF có AD = DM, DE//MF  nên DE là đường trung bình của tam giác AMF nên AE = EF.

Do đó AE = EF = FC nên  .

Đáp án: A.

Câu 6. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Tính EI; DK biết AG = 4cm.

A. EI = DK = 3cm.

B. EI = 3cm, DK = 2cm.

C. EI = DK = 2cm. 

D. EI = 1cm, DK = 2cm.

Lời giải:

Vì tam giác ABG có AE = EB, IB = IG nên EI là đường trung bình, do đó 

Tương tự tam giác AGC có AD = DC, GK = KC nên DK là đường trung bình, do đó 

Suy ra  

Đáp án: C.

Câu 7. Tính độ dài đường trung bình của hình thang cân, biết rằng hai đường chéo vuông góc với nhau và đường cao của nó bằng 10cm.

A. 8 cm.                      B. 5 cm.                  C. 6 cm.                  D. 10 cm.

Lời giải:

Xét hình thang cân ABCD (AB//CD), hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O, MN là đường trung bình của hình thang ABCD. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với AB tại E, với CD tại F.

Xét ΔADC và ΔBDC có:

AD = BC (gt)

DC cạnh chung.

 

Do đó: ΔADC=ΔBDC 

Mà AC = BD nên OA = OB ⇒ ΔOAB cân tại O.

Lại có  (do AB vuông góc với CD) nên ΔOAB vuông cân tại O, do đó OE là đường cao cũng là đường trung tuyến nên

Chứng minh tương tự: Tam giác DOC vuông cân tại O nên 

Do đó  

MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên 

Đáp án: D.

Câu 8. Tam giác ABC có AC = 2AB, đường phân giác AD. Tính BD biết DC = 8cm.

A. BD = 4cm.              B. BD = 5cm.          C. BD = 3cm.          D. BD = 8cm.

Lời giải:

Gọi M, E lần lượt là trung điểm của AC, CD. 

Khi đó ME là đường trung bình của tam giác ACD ⇒ ME//AD .

Gọi N là giao điểm của AD và BM. 

Vì M là trung điểm của AC 

mà  

Suy ra tam giác ABM cân tại A có AN là phân giác (gt) nên AN cũng là đường trung tuyến của ΔMAB hay NB = NM.

Xét tam giác BME có NB = NM; ND//ME nên D là trung đểm của BE ⇒ BD = DE.

Lại có: 

Đáp án: A.

Câu 9. Tứ giác ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của BD, AC. Gọi I là trung điểm của EF. Gọi M, N, P lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ A, B, I đến CD. Chọn câu đúng.

A. AM + BN = 2IP.                B. AM + BN = 3IP.

C. AM + BN = 4IP.                D. AM + BN = 5IP.

Lời giải:

Gọi K, L lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ E, F đến DC.

Suy ra AM//EK//IP//FL//BN .

Xét tam giác ACM có F là trung điểm AC và FL//AM⇒L là trung điểm CM. 

Suy ra FL là đường trung bình của tam giác ACM ⇒ AM = 2FL.      (1) 

Xét tam giác BDN có E là trung điểm BD và EK//BN⇒K là trung điểm DN. 

Suy ra EK là đường trung bình của tam giác BDN ⇒ BN = 2EK.      (2) 

Xét tứ giác EKLF có EK//FL nên EKLF là hình thang. 

Lại có: EK//IP//FL, IE = IF ⇒PL = PK.

Suy ra IP là đường trung bình của hình thang EFLK ⇒EK + FL = 2IP.

⇒ 2EK + 2FL = 4IP  (3) 

Từ (1), (2), (3) suy ra AM + BN = 4IP.

Đáp án: C.

Câu 10. Cho hình thang ABCD (AB//CD), hai đường phân giác của góc A và góc D cắt nhau tại I, hai đường phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại J. Gọi H là trung điểm của AD, K là trung điểm của BC. Cho biết AB = AD = 10cm, BC = 12cm, CD = 20cm. Tính độ dài các đoạn HI, IJ và JK.

A. IH = 6 cm; JK = 4cm; IJ = 5cm.              B. IH = 5 cm; JK = 6cm; IJ = 4cm.

C. IH =5 cm; JK = 5cm; IJ = 4cm.               D. IH = 5 cm; JK = 6cm; IJ = 6cm.

Lời giải:

Xét hình thang ABCD có: H là trung điểm của AD, K là trung điểm của BC nên KH là đường trung bình của hình thang ABCD.

Suy ra  

Vì AI và DI là hai tia phân giác của góc A và góc D nên ta có:

Xét ΔAID có:  . Suy ra ΔAID vuông tại I.

Lại có IH là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AD của tam giác vuông AID nên 

HI = HD.

Do đó tam giác HID cân tai H nên  .

Mà  .

Từ (1) và (2) suy ra H, I, K thẳng hàng hay điểm I thuộc đường thẳng HK.

Chứng minh tương tự điểm J thuộc đường thẳng HK. Do đó bốn điểm H, I, J, K thẳng hàng.

Ta có  

Đáp án: B.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai đoạn thẳng, hai góc bằng nhau (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai đường thẳng song song, ba điểm thẳng hàng (hay, chi tiết)
• Cách dựng hình thang bằng thước và compa (hay, chi tiết)
• Cách dựng hình tam giác bằng thước và compa (hay, chi tiết)
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng trục

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---