Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng trục

Với Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng trục hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng trục

A. Phương pháp giải

Sử dụng định nghĩa của phép đối xứng trục.

a) Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm đó. 

Quy ước: Nếu B∈d thì ta nói B đối xứng với B qua d. 

b) Hai hình gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại. Đường thẳng d gọi là trục đối xứng của hai hình đó.

Sử dụng tính chất:

Nếu các điểm A và A', B và B' , C và C' đối xứng với nhau qua đường thẳng d trong đó C nằm giữa A và B thì C' nằm giữa A' và B' .

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D. Vẽ điểm E đối xứng với D qua AH.

Giải

Vì ABC cân tại A có AH là đường cao theo giả thiết nên AH là tia phân giác của góc A.

Vẽ điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE nên ∆ADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

Ví dụ 2. Cho ΔABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm D, vẽ ΔADC đối xứng với ΔAEB qua AH.

Giải

Vì AH là đường cao của ΔABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC suy ra B đối xứng với C qua AH. 

Vẽ điểm E thuộc cạnh AC sao cho AD = AE nên ΔADE cân tại A. Suy ra AH là đường trung trực của DE. Vậy D đối xứng với E qua AH.

Lại có A đối xứng với A qua AH theo quy ước. Vậy ΔADC đối xứng với  ΔAEB qua AH.

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC, trong đó AB = 11 cm, AC = 15 cm. Vẽ hình đối xứng với tam giác ABC qua trục là cạnh BC.

Giải

Ta có B đối xứng với B qua BC theo quy ước, C đối xứng với C qua BC theo quy ước

Vẽ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BC. Trên đường thẳng d vẽ điểm A’ sao cho AB = A'B . Suy ra A' là điểm đối xứng với A qua BC. Khi đó tam giác A'BC đối xứng với tam giác ABC qua BC. 

Ví dụ 4. Cho hai điểm A, B nằm cùng phía đối với đường thẳng d. Vẽ hai điểm C đối xứng với A qua d và D đối xứng với B qua d.

Giải

Vẽ . Vẽ hai điểm C, D sao cho H là trung điểm của AC, K là trung điểm của BD ta được C đối xứng với A qua đường thẳng d, D đối xứng với B qua đường thẳng d.

Ví dụ 5. Cho góc vuông xOy, điểm A nằm trong góc đó. Gọi B là điểm đối xứng với A qua Ox, C là điểm đối xứng với A qua Oy. Nêu cách vẽ B và C.

Giải

Vẽ  , vẽ hai điểm B, C sao cho H, K lần lượt là trung điểm của AB, AC thì B đối xứng với A qua Ox, C đối xứng với A qua Oy.

Vì   đối xứng với O qua Ox, Oy.

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hình đối xứng của một tam giác qua một điểm bất kì có thể là

A. hình tam giác.

B. hình tứ giác.

C. hình bình hành.

D. đoạn thẳng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với mỗi đỉnh của một tam giác, ta lấy đối xứng được một điểm khác tương ứng qua tâm đối xứng.

Từ ba điểm mới xác định được ta thu được hình đối xứng của một tam giác qua một điểm bất kì là một tam giác.

Bài 2. Cho tam giác ABC, điểm D bất kì. Lấy đối xứng tam giác ABC qua D ta được

A. Một hình tam giác đồng dạng với ∆ABC.

B. Một hình tam giác bằng ∆ABC.

C. Một đoạn thẳng.

D. Một hình tứ giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vẽ A', B', C' lần lượt là các điểm đối xứng với A, B, C qua D.

Suy ra D là trung điểm của các đoạn thẳng AA', BB', CC'.

Xét ∆ABD và ∆A'B'D:

AD = A'D

BD = B'D

$\widehat{ADB}=\widehat{A^{\text{'}}D{B}^{\text{'}}}$ (đối đỉnh)

Do đó ∆ABD = ∆A'B'D (c.g.c)

Suy ra AB = A'B'.

Tương tự, ta chứng minh được BC = B'C' và AC = A'C'.

Suy ra ∆ABC = ∆A'B'C' (c.c.c).

Bài 3. Cho ∆ABC là tam giác cân tại B, đường cao BH. Gọi D là trung điểm của AB. E là điểm đối xứng với D qua BH. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. E ∈ AC.

B. E là trung điểm của BC.

C. E nằm ngoài tam giác.

D. E là trọng tâm của tam giác.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

E là điểm đối xứng với D qua BH nên BH là đường trung trực của đoạn DE.

Suy ra BD = BE hay $\frac{1}{2}$AB = BE = $\frac{1}{2}$BC.

Tam giác ABC là tam giác cân tại B nên đường cao BH cũng là đường trung trực của đoạn AC.

Do D ∈ AB nên E ∈ BC.

Từ đó suy ra E là trung điểm của BC.

Bài 4. Hình nào sau đây sau khi thực hiện đối xứng các đỉnh qua tâm của nó, ta vẫn thu được hình ban đầu?

A. Hình tam giác.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang.

D. Hình vuông.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do hình vuông có tâm là tâm đối xứng nên khi thực hiện đối xứng qua tâm các đỉnh của nó, ta vẫn thu được hình ban đầu.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD, điểm nào là điểm đối xứng với A qua tâm O của hình chữ nhật?

A. B.

B. C.

C. D.

D. A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta biết rằng hình chữ nhật có tâm là tâm đối xứng nên O là tâm đối xứng của hình chữ nhật ABCD.

Khi đó, thực hiện đối xứng A qua điểm O ta thu được điểm C.

Bài 6. Cho hình thoi ABCD tâm O. Gọi các điểm E, F, G, H, I, J lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OC, AB, OA, BC, AD, CD. Đoạn thẳng thu được sau khi đối xứng EF qua điểm O là

A. GH.

B. GJ.

C. EI.

D. EF.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của đường chéo AC.

Suy ra ta có: GO = $\frac{1}{2}$AO = $\frac{1}{2}$CO = OE.

Do đó, đối xứng với E qua O là G.

Tâm O là tâm đối xứng của hình thoi ABCD nên dễ thấy J là điểm đối xứng với F qua O.

Suy ra lấy đối xứng với EF qua O ta được đoạn thẳng GJ.

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD và điểm I bất kỳ. Vẽ đối xứng hình chữ nhật ABCD qua điểm I, ta thu được hình

A. tam giác.

B. hình vuông.

C. hình chữ nhật.

D. hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta nhận thấy I là trung điểm của 2 đoạn thẳn CC' và BB' nên suy ra BCB'C' là hình bình hành, do đó BC // B'C'

Tương tự, ta chứng minh được AD // A'D', AB // A'B' // CD // C'D'.

Suy ra A'B'C' là hình bình hành, lại có A'D' ⊥ A'B' (AD ⊥ AB) nên A'B'C'D' là hình chữ nhật.

Bài 8. Cho đoạn thẳng AB có độ dài 5 cm và điểm O bất kỳ. Đoạn thẳng A¢B¢ đối xứng với AB qua O. Khi đó độ dài của A'B' là

A. 3 cm.

B. 4 cm.

C. 5 cm.

D. 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy O là trung điểm của AA' và BB' suy ra ABA'B' là hình bình hành.

Suy ra A'B' = AB = 5 cm.

Bài 9. Tam giác ABC đối xứng với tam giác A'B'C' qua điểm D, biết tam giác ABC có chu vi là 50 cm khi đó chu vi của tam giác A'B'C' có giá trị là

A. 50 cm.

B. 48 cm.

C. 46 cm.

D. 44 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

D là trung điểm của hai đoạn thẳng AA' và BB' nên dễ thấy ABA'B' là hình bình hành.

Suy ra AB = A'B'.

Tương tự, ta chứng minh được AC = A'B' và BC = B'C'.

Suy ra chu vi của tam giác A'B'C' bằng chu vi của tam giác ABC và bằng 50 cm.

Bài 10. Cho tam giác ABC có AB < AC, gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ K đối xứng với A qua d. Đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB, AC qua đường thẳng d là

A. KA, KB.

B. KA, AC.

C. KC, KB.

D. KC, AC.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d là đường trung trực của đoạn thẳng BC nên C và B đối xứng với nhau qua d.

Lại có K đối xứng với A qua d.

Suy ra KC, KB là các đoạn thẳng đối xứng với AB, AC qua đường thẳng d.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Cách dựng hình tam giác bằng thước và compa (hay, chi tiết)
• Tìm hình có trục đối xứng – Tìm trục đối xứng của một hình
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, hai góc bằng nhau chi tiết
• Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng (hay, chi tiết)
• Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---