Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất

Với Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Tìm vị trí của một điểm để tổng hai đoạn thẳng ngắn nhất

A. Phương pháp giải

1. Vẽ thêm điểm đối xứng qua trục.

2. Áp dụng tính chất hai hình đối xứng qua một trục. 

3. Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hai điểm A, B nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d. Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho tổng MA + MB nhỏ nhất. 

Giải

 

B’ là điểm đối xứng của B qua đường thẳng d, B’ cố định. 

Ta có MB = MB’ (tính chất đối xứng trục). 

Xét tam giác AMB’ ta có MA + MB’ ≥  AB’.

Do đó MA + MB ≥  AB’.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi A, M, B’ thẳng hàng theo thứ tự đó hay M là giao điểm của đoạn AB’ và đường thẳng d. 

Vậy khi   là giao điểm của đoạn thẳng AB’ và đường thẳng d thì tổng MA + MB nhỏ nhất, trong đó B’ là điểm đối xứng của B qua d.

Ví dụ 2. Trên tia phân giác góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC, lấy điểm M (M khác C). So sánh MA + MB và AC + BC

Giải

Trên tia đối của tia CB lấy điểm A’ sao cho CA = CA’.

Khi đó ta có tam giác CAA’ cân tại C có CM là phân giác  nên CM cũng là đường trung trực của AA’.

Từ đó ta có: MA = MA’.

Nên MA + MB = MA’ + MB. 

Xét tam giác MA’B có MA’ + MB > A’B ⇒ MA + MB > A’C + BC.

Hay MA + MB > AC + BC (vì CA = CA’).

Ví dụ 3. Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Gọi C là điểm đối xứng với A qua d và D là giao điểm của d với đoạn thẳng BC. Vẽ điểm E bất kì trên d (E khác D). Chứng minh rằng AD + DB < AE + EB.

Giải

Vì C đối xứng với A qua d nên DA = DC, EA = EC. Nên

AD + DB = CD + DB = CB.         (1)

AE + EB = CE + EB.                   (2)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác BCE ta có CB < CE + EB.     (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra  AD+DB<AE+EB.

Ví dụ 4. Cho tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh C bằng góc ACB. Chứng minh rằng 

AB + BD > AC + CD.

Giải

Vẽ điểm E đối xứng với điểm A qua trục BC, do C đối xứng với C qua trục BC nên đối xứng với qua BC suy ra  hay  là góc ngoài tại đỉnh C của tứ giác ABCD hay ba điểm D, C, E thẳng hàng.

Do đó DE = DC + CE.       (1)

Vì E đối xứng với A qua BC nên 

CA = CE                             (2) 

AB = BE.                              (3)

Từ (1) và (2) suy ra DE = DC + AC. (*)

Từ (3) suy ra AB + BD = BD + BE.  (4)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác BDE ta được  BD+BE >DE. (5)

Từ (4) và (5) suy ra AB + BD > DE (**)

Từ (*) và (**) suy ra AB + BD > AC + CD.

Ví dụ 5. Trên đường phân giác ngoài ở đỉnh C của tam giác ABC, lấy điểm M khác C. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB.

Giải

Gọi d là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh C. 

Vẽ thêm điểm E đối xứng với điểm A qua d bằng cách, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA ta được tam giác CAE cân tại C có d là phân giác của góc ở đỉnh nên d là đường trung trực của AE, do đó MA = ME. 

Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác MBE, ta được:

MA + MB = ME + MB > BE = CE + CB = CA + CB.

Vậy AC + CB < AM + MB.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai điểm đối xứng qua một đường thẳng (hay, chi tiết)
• Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành
• Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành
• Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---