Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành

Với Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau trong hình bình hành

A. Phương pháp giải

1. Vẽ thêm hình bình hành bằng cách xác định một đoạn thẳng có trung điểm làm một đường chéo, sau đó chọn một trong hai giải pháp sau: 

• Vẽ thêm đường chéo thứ hai. 
• Kẻ thêm đường thẳng song song. 

2. Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác, định lý tổng các góc trong tam giác, tứ giác.

3. Áp dụng tính chất của hình bình hành:

- Hai cạnh song song và bằng nhau

- Hai góc đối bằng nhau

- Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi I là giao điểm của BC và DE. Chứng minh DI = IE.

Giải

 

Kẻ DH//CE (H ∈ BC) (1)

Để chứng minh DI = IE ta chứng minh DCEH là hình bình hành.

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác cân ABC và góc đồng vị của DH//CE, ta được: 

(vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).

Lại có BD = CE (3) theo giả thiết nên từ (2) và (3) suy ra DH = CE (4). 

Từ (1) và (4) ta có tứ giác DCEH có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành. 

Áp dụng tính chất về đường chéo vào hình bình hành DCEH thu được DI = IE.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM. D là giao điểm của BI với AC. Chứng minh rằng  .

Giải

Do I là trung điểm của AM theo giả thiết nên chọn AM là một đường chéo. Vẽ thêm điểm E sao cho I là trung điểm của ED thì tứ giác ADME có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. 

Áp dụng định nghĩa và tính chất về cạnh vào hình bình hành ADME, ta được 

ME = AD (1) và ME//AD, ME//DC (2) 

Lại có BM = MC.              (3)

Từ (2) và (3) suy ra BE = ED theo định lí đường trung bình, lúc đó ME là đường trung bình của ΔBDC . Áp dụng định lí đường trung bình vào tam giác BDC, ta được: 

Từ (1) và (4) suy ra: 

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC. Qua D là trung điểm của cạnh BC, kẻ một đường thẳng vuông góc với đường phân giác của góc A nó cắt AB ở M và AC ở N. Chứng minh rằng BM = CN.

Giải

Do D là trung điểm của BC theo giả thiết nên chọn BC làm một đường chéo. Vẽ thêm điểm E sao cho D là trung điểm của ME thì tứ giác BMCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. 

Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh vào hình bình hành BMCE ta được BM//CE và

BM = CE.               (1)

Mặt khác theo giả thiết trong tam giác AMN ta thấy MN vuông góc với tia phân giác của góc A nên tam giác AMN cân ở A. 

Áp dụng tính chất về góc vào tam giác cân AMN, tính chất của hai góc đối đỉnh ở N và tính chất góc so le của BM//CE, ta được: 

 (vì trong một tam giác, đối diện với hai góc bằng nhau là hai cạnh bằng nhau).           

Từ (1) và (2) suy ra BM = CN.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chọn câu sai. Cho ABCD là hình bình hành. Khi đó:

Lời giải:

Trong hình bình hành:

• Hình bình hành có các cạnh đối song song. 
• Các cạnh đối bằng nhau. 
• Các góc đối bằng nhau.

Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên D sai.

Đáp án: D.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu:

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB = CD, AD = BC.

Đáp án: B.

Câu 3. Hãy chọn câu đúng. Cho hình bình hành ABCD, gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Khi đó:

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD, AB = CD. 

Xét tứ giác BEDF có BE = FD; BE//DF (do AB//CD) nên BEDF là hình bình hành. 

Từ đó: DE = BF (tính chất hình bình hành).

Đáp án: A.

Câu 4. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D. Chọn câu sai.

Lời giải:

Gọi BK; CI là các đường cao của tam giác ABC. Khi đó hay  (vì H là trực tâm).

Lại có:  (giả thiết) nên BD//CH (cùng vuông với AB) và CD//BH (cùng vuông góc với AC)

Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành. 

Từ đó HB = CD; CH = BD nên D sai (ta chưa đủ điều kiện để chỉ ra được HB = HC).

Đáp án: D.

Câu 5. Tỉ số độ dài hai cạnh của hình bình hành là 3:5. Còn chu vi của nó bằng 48cm. Độ dài hai cạnh kề của hình bình hành là:

A. 12cm và 20cm.                            B. 6cm và 10cm.                         

C. 3cm và 5cm.                                D. 9cm và 15cm      .

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh của hình bình hành là a và b với a,b>0 .

Theo bài ra ta có: 

Nửa chu vi của hình bình hành là: 48 : 2 = 24cm. 

Suy ra: a + b = 24cm. Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

 

Suy ra a = 3.3 = 9, b = 3.5 = 15.

Vậy hai cạnh của hình bình hành là 9cm và 15cm.

Đáp án: D.

Câu 6. Vẽ ra phía ngoài tam giác ABC các tam giác ABD và BCE cùng vuông cân tại B, gọi M là trung điểm của AC. Chọn phương án đúng?

A. DE = 2BM.

B. DE = BM. 

C. DE = 3BM. 

D.DE = 4BM.

Lời giải:

Do M là trung điểm của AC theo giả thiết nên chọn AC làm một đường chéo. 

Vẽ thêm điểm F sao cho M là trung điểm của BF thì tứ giác ABCF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. 

Áp dụng định nghĩa, tính chất về cạnh và đường chéo vào hình bình hành ABCF ta được BC//AF, BC = AF (1) và BF = 2BM (2). 

Áp dụng tính chất hai góc trong cùng phía của BC//AF và giả thiết, thu được:

Từ giả thiết các tam giác ABD, BCE cùng vuông cân ở B nên BA = BD (4) và BE = BC (5).

Kết hợp (1) với (5), ta có BE = AF (6). 

Từ (3), (4) và (6) suy ra  (c.g.c), do đó DE = BF.

Thay BF = DE vào đẳng thức (2), ta được DE = 2BM.

Đáp án: A.

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F. Chọn khẳng định đúng.

A. DE = FE; FE > FB. 

B. DE = FE = FB.

C. DE > FE; EF = FB.

D. DE > FE > FB.

Lời giải:

Vì  (gt) mà AB = CD (cạnh đối hình bình hành) nên AK = IC

Vì AB//CD (gt), AK//IC.

Tứ giác AKCI có AK//CI, AK = IC (cmt) nên là hình bình hành. Suy ra AI//KC. 

Mà  EI//CF, KF//AE.

Xét  ΔDCF có DI = IC (gt) và EI//FC (cmt) ⇒ ED = EF (1) 

Xét ΔABE có AK = KB (gt) và KF//AE (cmt) ⇒ EF = FB (2). 

Từ (1) và (2) suy ra DE = FE = FB. 

Đáp án: B.

Câu 8. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AD, BC. Đường chéo AC cắt BE, DF theo thứ tự ở K, I. Chọn khẳng định đúng nhất.

A. K, I lần lượt là trọng tâm ΔABD, ΔDBC .                                        

B. AK = KI = IC.

C. Cả A, B đều đúng.                                  

D. Cả A, B đều sai.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC, BD. 

Vì ABCD là hình bình hành nên AC, BD giao nhau tại trung điểm O mỗi đường, hay 

Xét tam giác ABD có BE, AO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại K nên K là trọng tâm ΔDBA .

Suy ra 

Xét tam giác CBD có DF, CO là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I nên I là trọng tâm ΔDBC .

Suy ra 

Lại có: AK + KI + CI = AC  

⇒KI = AC – AK – CI  

Từ (1), (2) và (3) suy ra: AK = KI = IC.

Đáp án: C.

Câu 9. Cho hình bình hành ABCD. Trên đường chéo BD lấy hai điểm E và F sao cho . Chọn khẳng định đúng.

A. FA = CE.

B. FA < CE.            

C. FA > CE.

D. Chưa kết luận được.

Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình bình hành nên AC, BD giao nhau tại trung điểm O mỗi đường, hay OA = OC, OB = OD. 

Mà BE = DF (gt) ⇒OE = OF. 

Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại trung điểm O nên AECF là

hình bình hành ⇒ FA = CE.

Đáp án: A.

Câu 10. Cho tam giác ABC có BC = 6cm. Trên cạnh AB lấy các điểm D và E sao cho AD = BE. Qua D, E lần lượt vẽ các đường thẳng song song với BC, cắt AC theo thứ tự ở G và H. Tính tổng DG + EH.

A. 10 cm.

B. 4 cm.

C. 6 cm.

D. 8 cm.

Lời giải:

Kẻ HM//AB (M∈BC). 

Xét tứ giác EHMB có MH//BE, EH//BM nên EHMB là hình bình hành. 

Suy ra EH = BM; EB = HM (tính chất hình bình hành) mà AD = BE ⇒ AD = MH. 

Lại có:  (hai góc ở vị trí đồng vị).     (1)

Và  (hai góc ở vị trí đồng vị).  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: .

Đáp án: C.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh hai góc bằng nhau, tính số đo góc trong hình bình hành
• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành
• Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng tâm
• Tìm hình có tâm đối xứng – Tìm tâm đối xứng của một hình

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---