Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)

Với Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành hay, chi tiết môn Toán lớp 8 phần Hình học sẽ giúp học sinh ôn tập, củng cố kiến thức từ đó biết cách làm các dạng bài tập Toán lớp 8 Chương 1: Tứ giác để đạt điểm cao trong các bài thi môn Toán 8.

Cách chứng minh tứ giác là hình bình hành (hay, chi tiết)

A. Phương pháp giải

Nhận dạng hình bình hành: Thường sử dụng dấu hiệu nhận biết về cạnh đối và đường chéo.

- Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành

- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành

- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

Giải

 

Tứ giác MNPQ là hình bình hành. 

Giải thích: Thật vậy, từ giả thiết ta có MQ, NP thứ tự là các đường trung

bình của hai tam giác ABD và BCD. Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác đó, ta được:

 

Tứ giác MNPQ có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Ví dụ 2. Cho hình sau, trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành.

Giải

Từ giả thiết  

Áp dụng tính chất về cạnh vào hình bình hành ABCD và tính chất góc so le của AD//BC ta được:

(trường hợp cạnh huyền, góc nhọn).

Suy ra AH = CK.               (2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AHCK có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành. 

Ví dụ 3. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở E, tia phân giác của góc C cắt AB ở F. Chứng minh rằng: Tứ giác AFCE là hình bình hành.

Giải

Áp dụng định nghĩa vào hình bình hành ABCD, ta được AB//DC, suy ra AE//EC. (1) 

Áp dụng tính chất về góc, giả thiết vào hình bình hành ABCD và tính chất của các cặp góc so le, ta được: 

  (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau). (2) 

Từ (1) và (2) ta có tứ giác AFCE có các cạnh đối song song nên nó là hình bình hành.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Hãy chọn câu sai:

A. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

B. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình bình hành.

C. Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

D. Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nhau là hình bình hành. 

Lời giải:

Dấu hiệu nhận biết:

• Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành nên A đúng. 
• Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành nên C đúng. 
• Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành nên D đúng.

Nhận thấy hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân nên B sai.

Đáp án: B.

Câu 2. Hãy chọn câu đúng. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu.

Lời giải:

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi AB//CD, BC//AD nên C sai.

Tứ giác ABCD là hình bình hành khi nên D đúng.

A, B sai vì chưa đủ điều kiện để kết luận.

Đáp án: D.

Câu 3. Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AI, BD, CE đồng quy tại G. M và N lần lượt là trung điểm của GC và GB. Tứ giác MNED là hình gì?

A. Hình chữ nhật. 

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân. 

D. Hình thang vuông.

Lời giải:

Xét tam giác ABC có E là trung điểm AB, D là trung điểm AC nên ED là đường trung bình của tam giác  ABC

Xét tam giác GBC có N là trung điểm của GB; M là trung điểm GC nên MN là đường trung bình của tam giác  GBC

Từ (1) và (2) ⇒ MN//ED; MN = ED nên tứ giác MNED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Đáp án: B.

Câu 4. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Vẽ các điểm H, I sao cho D là trung điểm của GH, E là trung điểm của GI. Tứ giác BIHC là hình gì?

A. Hình bình hành.

B. Hình thang

C. Hình thang cân

D. Cả A, B, C đều sai

Lời giải:

Từ giả thiết BD, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên D, E lần lượt là trung điểm của AC và AB. 

Cũng từ giả thiết D, E thứ tự là trung điểm của GH, GI. Do đó DE là đường trung bình của hai tam giác ABC và GHI. 

Áp dụng định lí đường trung bình vào hai tam giác trên, thu được:

 

Tứ giác BCHI có hai cạnh đối song song và bằng nhau nên nó là hình bình hành.

Đáp án: A.

Câu 5. Hãy chọn câu đúng. Cho hình bình hành ABCD có các điều kiện như hình vẽ, trong hình có:

A. 6 hình bình hành.

B. 5 hình bình hành.

C. 4 hình bình hành.

D. 3 hình bình hành. 

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD; AD//BC. 

Xét tứ giác AEFD có AE = FD; AE//FD (doAB//CD) nên AEFD là hình bình hành. 

Xét tứ giác BEFC có BE = FC; BE//FC (do AB//CD) nên BEFC là hình bình hành. 

Xét tứ giác AECF có AE = FC; AE//FC (do AB//CD) nên AECF là hình bình hành. 

Xét tứ giác BEDF có BE = FD; BE//FD (doAB//CD) nên BEDF là hình bình hành. 

Vì AECF là hình bình hành nên AF//EC ⇒ EH//GF; vì BEDF là hình bình hành nên ED//BF EG//HF

Suy ra EGFH là hình bình hành.

Vậy có tất cả 6 hình bình hành ABCD; AEFD; BEFC; AECF; BEDF; EGFH  

Đáp án: A.

Câu 6. Hãy chọn câu trả lời sai.

Cho hình vẽ, ta có:

A. ABCD là hình bình hành.

B. AB//DC.

C. ABCD là hình thang cân.

D. BC//AD.

Lời giải:

Từ hình vẽ ta có O là trung điểm của BD và AC. Do đó tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, suy ra tứ giác ABCD là hình bình hành, suy ra A đúng. 

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//DC; AD//BC (tính chất)  ⇒ B, D đúng. 

Chưa đủ điều kiện để ABCD là hình thang cân.

Đáp án: C.

Câu 7. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD tại M. Tia phân giác góc C cắt AB tại N (hình vẽ). Hãy chọn câu trả lời sai.

A. AMCN là hình bình hành.

B. CMAB là hình thang.

C. ANCD là hình thang cân.

D. AN = MC.

Lời giải:

nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết). 

Vì AMCN là hình bình hành nên AN = CM (tính chất) nên A, D đúng. 

Vì MC//AB  ⇒ AMCB là hình thang nên B đúng. 

Vì AN//CD ⇒  ANCD là hình thang. Chưa đủ điều kiện để ANCD là hình thang cân nên C sai.

Đáp án: C.

Câu 8. Cho tam giác ABC và H là trực tâm. Các đường thẳng vuông góc với AB tại B, vuông góc với AC tại C cắt nhau ở D.

Chọn câu trả lời đúng nhất. Tứ giác BDCH là hình gì?

A. Hình thang

B. Hình bình hành

C. Hình thang cân

D. Hình thang vuông

Lời giải:

Gọi BK; CI là các đường cao của tam giác ABC. Khi đó hay  (vì H là trực tâm).

Lại có  (giả thiết) nên BD//CH (cùng vuông với AB) và CD//BH (cùng vuông với AC). Suy ra tứ giác BHCD là hình bình hành.

Đáp án: B.

Câu 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là giao điểm của AB và CD, AD và BC; M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Khi đó MNPQ là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.

A. Hình bình hành.

B. Hình thang vuông.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang.

Lời giải:

Nối AC vì M, N lần lượt là trung điểm của AE, EC nên MN là đường trung bình của tam giác EAC suy ra  

Tương tự PQ là đường trung bình của tam giác FAC suy ra

Từ (1); (2) suy ra PQ//NM; PQ = MN nên MNPQ là hình bình hành.

Đáp án: A.

Câu 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE. Khi đó MNPQ là hình gì? Chọn đáp án đúng nhất.

A. Hình bình hành.

B. Hình thang vuông.

C. Hình thang cân.

D. Hình thang. 

Lời giải:

Nối EF, EP, FQ, EM, PM, QN. Gọi O là giao của QN và EF. 

Xét tam giác CED có FN là đường trung bình nên: 

⇒NFQE là hình bình hành nên hai đường chéo QN và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Suy ra O là trung điểm của QN (1) và EF. 

Xét tam giác ABF có EM là đường trung bình nên:

⇒EMPF là hình bình hành nên hai đường chéo PM và EF giao nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà O là trung điểm của EF nên O cũng là trung điểm của PM.          (2) 

Từ (1) và (2) suy ra: tứ giác QMNP có hai đường chéo QN, PM giao nhau tại trung điểm O mỗi đường nên QMNP là hình bình hành.

Đáp án: A.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong những khẳng định dưới đây, khẳng định nào là sai?

A. Tứ giác có hai cặp cạnh đối song song là hình bình hành.

B. Tứ giác có hai cặp góc đối bằng nahu là hình bình hành.

C. Tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau là hình bình hành.

D. Hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Hình bình hành có các cặp cạnh song song nên hai góc kề một đáy bù nhau.

Bài 2. Cho tứ giác MNPQ, tứ giác MNPQ là hình bình hành khi

A. $\widehat{M}=\widehat{P},\widehat{N}=\widehat{Q}$.

B. $\widehat{N}=\widehat{Q}$.

C. MN // PQ, MQ = NP.

D. $\widehat{M}=\widehat{P}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Hình tứ giác có các cặp góc đối bằng nhau là một hình bình hành.

Bài 3. Cho tam giác ABC, các trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại G. Gọi các điểm H, I là trung điểm của GC và GB. Tứ giác EFIH là

A. Hình thang vuông.

B. Hình bình hành.

C. Hình thang cân.

D. Hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta nhận thấy G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó: BG = 2EG, mà BG = 2GI

Suy ra G là trung điểm của EI.

Tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm của HF.

Do đó tứ giác EFIH là hình bình hành.

Bài 4. Cho ∆ABC, các đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại G. Các điểm F, H đối xứng với G qua D và E. Tứ giác ABFH là

A. Hình thang cân.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Cả A, B, C đều sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Do F đối xứng với G qua điểm D nên D là trung điểm của GF hay GD = DF.

Lại có G là trọng tâm của ∆ABC nên AG = 2GD = GD + DF = GF.

Suy ra G là trung điểm của AF.

Tương tự, ta chứng minh được G là trung điểm của HB.

Do đó tứ giác ABFH là hình bình hành.

Bài 5. Có bao nhiêu hình bình hành trong hình vẽ sau?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

– Tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối AB = CD, AD = BC nên ABCD là hình bình hành.

Khi đó AB // CD và AD // BC.

– Tứ giác AEFD có cặp cạnh đối AE và DF song song và bằng nhau nên AEFD là hình bình hành.

– Tứ giác BEFC có cặp cạnh đối BE và CF song song và bằng nhau nên BEFC là hình bình hành.

– Tứ giác AECF có cặp cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau nên AECF là hình bình hành.

– Tứ giác BEDF có cặp cạnh đối BE và DF song song và bằng nhau nên BEDF là hình bình hành.

– AECF và BEDF là hình bình hành nên AF // CE và DE // BF. Suy ra tứ giác GEHF có các cặp cạnh đối song song với nhau nên GEHF là hình bình hành.

Bài 6. Cho hình vẽ. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là sai?

A. AB // CD.

B. ABCD là hình bình hành.

C. ABCD là hình thang cân.

D. BC // AD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Dựa vào hình vẽ, ta nhận thấy tứ giác ABCD có các đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên ABCD là hình bình hành.

Suy ra AB // CD và BC // AD.

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc $\widehat{B}$ cắt CD tại M, góc $\widehat{D}$ cắt AB tại N. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. BMDN là hình bình hành.

B. BNDC là hình thang.

C. DMBA là hình thang cân.

D. DM = NB.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

– Tứ giác BMDN có BN // DM, $\widehat{NBM}=\widehat{NDM}$.

Suy ra $180°-\widehat{NBM}=180°-\widehat{NDM}$ hay $\widehat{DMB}=\widehat{DNB}$.

Tứ giác BMDN có các góc đối bằng nhau nên BMDN là hình bình hành.

– Do đó DM = NB.

– Do BN // DC nên tứ giác BNDC là hình thang.

Bài 8. Cho ∆ABC. Hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ điểm F sao cho FB ^ AB, FC ^ AC. Tứ giác BFCH là

A. Hình thang cân.

B. Hình thang.

C. Hình bình hành.

D. Hình thang vuông.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

+) CF ⊥ AC, BH ⊥ AC nên CF // BH.

+) BF ⊥ AB, CH ⊥ AB nên CH // BF.

Suy ra tứ giác BFCH là hình bình hành.

Bài 9. Cho tứ giác ABCD. E = AB ∩ CD, F = AD ∩ BC. M, N, P, Q là trung điểm của AE, EC, CF, FA. Tứ giác MNPQ là

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tam giác AEC có M, N là trung điểm của AE và CE nên MN là đường trung bình của ∆AEC.

Suy ra MN // AC và AC = 2MN.

Tương tự, ta chứng minh được: PQ // AC và AC = 2PQ.

Do đó MN // PQ và MN = PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 10. Cho tứ giác ABCD. E, F, M, N, P, Q là trung điểm của AB, CD, AF, CE, BF, DE. Khi đó MNPQ là

A. Hình thang.

B. Hình thang cân.

C. Hình thang vuông.

D. Hình bình hành.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABF có E, P là trung điểm của AB và BF nên EP là đường trung bình của ∆ABF.

Khi đó ta có EP // MF và EP = MF (M là trung điểm của AF).

Suy ra MEPF là hình bình hành.

Gọi O = MP Ç EF, khi đó O là trung điểm của cả MP và EF.

Tương tự, ta chứng minh được tứ giác NEQF là hình bình hành.

Khi đó QN cắt EF tại trung điểm của EF là O và O cũng chính là trung điểm của QN.

Suy ra MP và QN cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường.

Do đó MNPQ là hình bình hành.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc hay khác:

• Chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng qui trong hình bình hành
• Cách vẽ hình đối xứng của một hình cho trước bằng đối xứng tâm
• Tìm hình có tâm đối xứng – Tìm tâm đối xứng của một hình
• Chứng minh hai đoạn thẳng hoặc hai góc bằng nhau sử dụng đối xứng tâm
• Chứng minh hai điểm đối xứng qua một điểm (hay, chi tiết)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---